Основные допущения и уравнения поперечных колебаний прямого стержня.

При выводе уравнения поперечных колебаний стержня (или балки) мы будем предполагать, что в недеформируемом состоянии так называемая упругая ось стержня прямолинейна и совпадает с линией центров тяжести поперечных сечений стержня. Эту прямолинейную ось мы примем за координатную ось , и от нее будем отсчитывать отклонения элементов стержня при поперечных колебаниях. При этом мы будем считать, по крайней мере на первых порах, что отклонения отдельных точек оси стержня происходят перпендикулярно к прямолинейному, недеформированному ее направлению, пренебрегая смещениями этих точек, параллельными оси.

Далее, мы предполагаем, что отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях происходят в одной плоскости (“плоскость колебаний”) и являются “малыми” отклонениями в том смысле, что возникающие при этом восстанавливающие силы остаются в пределах пропорциональности.

При таких предположениях отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях однозначно определяются одной функцией двух переменных – координаты и времени :

=

Эта функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в частных производных четвертого порядка, которое может быть построено следующим образом.

Обозначим через массу единицы длины стержня, через - жесткость на прогиб ( - модуль упругости, - момент инерции поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной к плоскости колебаний), - момент инерции единицы длины стержня относительно центральной оси, перпендикулярной к плоскости колебаний. На стержень действует распределенная поперечная нагрузка, интенсивность которой мы обозначим через , а также продольная сила (растягивающая или сжимающая), направленная по оси стержня с интенсивностью . Эти нагрузки могут зависеть не только от положения элементов стержня, но и от времени.

Кинетическая энергия колеблющегося стержня складывается из кинетической энергии поперечных смещений элементов стержня

= (1)

и кинетической энергии вращения элементов стержня вокруг осей, перпендикулярных к плоскости колебаний,

= (2)

Потенциальная энергия равна сумме трех слагаемых:

а) потенциальной энергии упругой деформации (работа восстанавливающих упругих сил

П = (3)

б) потенциальной энергии прогиба от поперечной нагрузки

П = (4)

в) потенциальной энергии растяжения от продольной силы

П = (5)

Функционал Остроградского – Гамильтона имеем здесь вид

= . (6)

Уравнение поперечных колебаний стержня мы получим, составив для функционала уравнение Эйлер по формуле:

, (*)

где

; ; ; ; .

(7)

Это линейное уравнение четвертого порядка, составленное при самых общих предположениях относительно действующих на стержень сил, жесткости и распределения массы.

В стержнях, длина которых значительно превосходит поперечные размеры, можно пренебречь инерцией вращения и опустить в левой части уравнения (7) последний член.

Положив и , мы рассмотрим сначала свободные колебания однородного стержня с постоянной жесткостью и погонной массой . Для таких колебаний уравнение (7) будет иметь вид

, (8)

где .