Математическая модель акустических колебаний в рдтт

1. Общие сведения. Проблема неустойчивости в камере РДТТ включает решение двух вопросов: поведения газа в объеме камеры сгорания и взаимо­действия его потока на границе раздела с твердым топливом. Граница раздела фаз включает три элемента: инертную ограничивающую жесткую поверхность, поверхность горения и выходную систему. Каждая из этих границ может быть предметом специального исследования. Для облегчения решения выход (сопло) рассматривают как граничное условие для потока газа из камеры.

Для теоретического анализа необходимо выбрать модель процесса (принять упрощающие предпосылки) и записать для каждой из представленных задач дифференциальные уравнения.

2. Основные допущения. Будем считать, что:

а) продукты сгорания в камере подчиняются законам идеального газа, в ко­тором отсутствуют силы вязкости, теплообмен со стенками и химические реакции;

б) газ является однокомпонентным с постоянной теплопровод­ностью;

в) конденсированные частицы имеют одинаковый размер.

Естественно, силы вязкости и теплообмен со стенками могут играть важную роль, но их учет значительно усложняет математическое описание процессов в камере, и поэтому ими пренебрегаем.

3. Исходные уравнения. Поток газа в камере сгорания РДТТ содер­жит частицы конденсированной фазы. Предполагая, что контрольный объем, для которого записываются исходные уравнения сохранения, содержит кроме газо­образных продуктов сгорания и эти конденсированные частицы (причем их объ­ем значительно меньше объема газа), можно обычными методами гидромехани­ки получить соответствующие уравнения сохранения.

Принятые допущения позволяют записать эти уравнения сохранения для по­тока продуктов сгорания в следующем виде:

уравнение сохранения массы (газа)

; (5.53)

уравнение сохранения массы (частиц)

; (5.54)

уравнение сохранения количества движения

; (5.55)

уравнение сохранения энергии

; (5.56)

 

где и - соответственно плотность газа и конденсированных частиц; и скорость газа и частиц; - скорость газообразования в единице объема; ; Q - скорость тепловыделения в единице объема (скорость вы­деления энергии в результате гомогенных химических реакций). Здесь и далее од­ним штрихом обозначены параметры частиц в газе.

Комбинируя уравнения (5.53) и (5.55) между собой и переписывая уравне­ние сохранения количества движения в преобразованном виде можно получить

; (5.57)

; (5.58)

где - сила взаимодействия между двумя фазами в единице объема:

; (5.59)

- количество тепла, которым обмениваются между собой газ и частицы:

; (5.60)

- количество движения, которым обмениваются между собой газ, образую­щийся со скоростью , и газ, находящийся в камере,

. (5.61)

Величина включает энергию, выделяемую при горении и передаваемую за счет теплопроводности.

Основным уравнением, используемым в анализе высокочастотной неустойчи­вости, является нелинейное волновое уравнение для давления, получаемое в ре­зультате комбинации уравнения (5.57) с (5.58):

(5.62)

Как видно из записанных уравнении, в частности (5.62) и (5.57), математически задача очень сложна даже с учетом допущений.

Для случая одномерного течения система уравнений (5.57) и (5.62) записывается в следующем виде:

; (5.63)

. (5.64)

Здесь ; (5.65)

; (5.66)

; (5.67)

, (5.68)

где - массовый приход газа и частиц на единицу длины; - массовый приход газа и частиц с единицы поверхностного горения; П - периметр по­перечного сечения камеры; F - площадь поперечного сечения; - разница между температурой газа в камере и газом, поступающим из зоны горения,

Как видно из (5.66), первые два члена в характеризуют обмен количест­вом движения между продуктами сгорания в камере и газом, который входит (или выходит) через границы.

Заметим, если все процессы в камере изоэнтропические, то представляет собой уменьшение температуры, связанное с неизоэнтропичностью.

 

Линейный одномерный анализ

В любой линейной теории неустойчивости изменение гармонических колебаний во времени изучается с точки зрения того, приводят они к неустойчивости или затухают. Характер переходных процессов в рамках такой теории не иссле­дуется. Вся информация получается путем анализа гармонических колебаний, так как любая функция разлагается на гармонические составляющие. Как из­вестно, в линейной теории рассматриваются колебательные процессы под дейст­вием малого начального возмущения. При этом любое возмущение в начальный момент описывается как функция положения в камере сгорания. Для устойчиво­сти необходимо убедиться в затухании всех гармонических составляющих. При анализе же нелинейных эффектов исследовать только гармоническое движение уже недостаточно, так как принцип суперпозиции при этом нарушается.

Чтобы найти линейное условие неустойчивости горения, не касаясь вопроса о конечном уровне колебаний, принимают, амплитуду наи­большего возмущения малой. При таком подходе исходные дифференциальные уравнения упрощаются, поскольку величинами второго порядка малости и выше пренебрегают, а анализируются лишь члены, содержащие возмущенные величины в первой степени. Поэтому получаются линейные уравнения относительно возму­щений. Линейность возмущений позволяет применить принцип суперпозиции, при котором сумма двух частных решений уравнений также является решением. Поэтому возмущения представляются в виде ряда Фурье, который позволяет анализировать поведение каждого члена ряда в отдельности: при наличии хотя бы одного неустойчивого члена суммарное колебательное движение также будет неустойчивым независимо от поведения остальных членов. Математически это выражается наличием хотя бы одного правого корня в решении характеристиче­ского уравнения исходной системы линеаризованных дифференциальных уравне­ний.

При линеаризации исходных уравнений применим несколько отличную по форме от рассматриваемой ранее линеаризации (что одновременно с некоторым упрощением анализа позволяет познакомиться с еще одним методом).

Умножим амплитуду каждого возмущения на , где (σ - коэффициент усиления, ω — угловая частота), а возмущение зададим в такой форме: ;

, (5.69)

где ε — мера амплитуды давления ~ δр/р°; δp(s) — комплексная амплитуда воз­мущения давления, при которой действительная часть представляет собой действительное мгновенное возмущение (аналогично для плотности).

Определяемые таким образом комплексные амплитуды зависят только от ко­ординат точки в пространстве.

Возмущения скорости можно представить следующим образом:

, (5.70)

где μ - мера амплитуды скорости (среднего числа М); - среднее значение скорости.

Учитывая сказанное, уравнения (5.63) и (5.64) при помощи отношений (5.69) и (5.70) можно привести к следующему виду:

(5.71)

, (5.72)

где - скорость звука в газе.

В силу того, что ε(μ) малы (но не равны нулю), член в фигурных скобках уравнения (5.71), умножаемый на ε, пропадает, так как появляются слагаемые второго порядка малости.

Граничные условия записываются для z = 0 и z = L. Уравнения могут быть решены формально для произвольного движения, но это обычно адекватно рас­смотрению только гармонического движения. В результате можно получить от­вет на вопрос: будут ли начально малые возмущения возрастать или умень­шаться. В линейном анализе, как выше было указано, используется временная зависимость для всех возмущений. Комплексное волновое число k, в котором действительная часть определяет угловую частоту, а мни­мая— рост или уменьшение σ, равно: . При σ<0 имеем линейную устойчивость колебаний.

С учетом принятой временной зависимости

; (5.73)

, (5.75)

при граничных условиях для z = 0 и z = L

. (5.75)

Здесь

(5.76)

. (5.77)

Знак (^) относится к амплитудам колебаний далеко от стенки. Совместное рас- смотрение уравнений (5.73), (5.74) и следующих:

; (5.78)

(z =0, L) (5.79)

позволяет окончательно получить выражение для комплексного волнового числа

, (5.80)

где . (5.81)

Действительная часть выражения (5.80) определяет искомую величину σ:

(5.82)

Здесь - приход массы, знак «~» относится к средним величинам.

Слагаемые, входящие в зависимость (5.82), можно интерпретировать следу­ющим образом.

Первый член в фигурных скобках представляет связь с поверхностью горе­ния; первое слагаемое в скобках - для конца заряда, второе - для бокового за­ряда.

Второй член в фигурных скобках представляет обмен акустической энергией, который связан с массовым потоком через боковую границу; для прихода массы он представляет потери энергии, потому что входящий поток должен приобре­тать энергию.

Первое слагаемое третьей фигурной скобки определяет рассеивание акусти­ческой энергии вследствие сил взаимодействия между частицами и газом; второе - потери энергии вследствие приобретения акустической энергии частиц че­рез границу.

Последний член (5.82) определяет догорание.

Отметим, что полученный результат линейного анализа (5.82), позволяет связать общую акустическую энергию в камере ε и 2 σ:

. (5.83)

Аналогичные результаты можно получить для трехмерной задачи с более корректной постановкой задачи (без рассмотренных ранее допущений). Подроб­нее об этом можно найти в работах Ф. Е. Кулика.