Нелинейные акустические колебания

1. Использованная выше в линейном анализе гипотеза о бесконечно малой величине возмущений не позволяет рассмотреть развитие действительных возму­щений. В линейной теории, как видно, амплитуда возмущений либо вообще не определена (на границе устойчивости), либо растет беспредельно (в зоне неус­тойчивости), что получается как следствие ее исходных положений. На самом деле при некоторой амплитуде возмущений становятся существенными нелиней­ные эффекты, которые предотвращают бесконечное увеличение амплитуды и при­водят к предельному циклу колебаний.

Нелинейность начинает проявляться лишь для возмущений с определенной (критической) амплитудой: при меньшей амплитуде согласно нелинейной теории колебания затухают, при большей - имеет место так называемая нелинейная неустойчивость (неустойчивость в большом, импульсная неустойчивость). Нелиней­ности колебательного процесса в РДТТ определяются нелинейностью процесса горения и волнового движения в камере, проявляющегося в росте кривизны волн давления, дисперсии возмущений и в возникновении ударных волн.

Несмотря на то, что линейные теории обеспечивают довольно полное пони­мание проблемы неустойчивости РДТТ, они не могут решить чрезвычайно важ­ного для практики вопроса о наиболее опасных для двигателя и для всего ЛА колебаниях большой амплитуды. Поэтому изучению таких нелинейных колебаний уделяется все большее и большее внимание. В настоящее время можно указать узкий круг уже решенных нелинейных задач.

2. Исходные уравнения. Рассмотрим в следующей постановке зада­чу о нелинейных акустических колебаниях для одномерного течения. Система не­линейных дифференциальных уравнений для такого случая может быть представ­лена в следующем виде:

уравнение сохранения массы газа

; (5.84)

уравнение сохранения массы частиц

; (5.85)

уравне­ние сохранения количества движения

; (5.86)

уравне­ние сохранения энергии

, (5.87)

где индекс «l» означает массовый расход на единицу длины; v - на единицу объема; остальные индексы и величины прежние.

3. Основные допущения. Для решения этих уравнений сделаем сле­дующие допущения:

- отсутствует догорание, т. Е = 0; Q = 0;

- обмен энергией представлен теплообменом между частицами и газом в КС;

- сечение канала заряда неизменно, т. е. F = const;

- при z = 0 скорости газа и частиц раины нулю;

- для двухфазного потока в сопле предполагается постоянное отставание тя­желой фракции;

- режим работы сопла квазистационарный;

- характеристики переходного горения определяются функцией чувствительно­сти в виде

. (5.88)

следовательно, характеристика горения предполагает линейность;

- учитывается связь скорости горения с давлением, в отдельных случаях - со скоростью потока;

- частицы рассматривают только одного размера, причем с использованием линейного и нелинейного коэффициента сопротивления.

4. Результаты численного решения. Численные методы решения нелинейных задач устойчивости включают метод характеристик, метод «дискре­тизации» и др. В последнем случае решение задачи аппроксимируется в предпо­ложении удовлетворения нелинейности в конечном числе дискретных точек. Сис­тема представленных уравнений (5.84)... (5.87) может решаться, например, методом характеристик. Такое решение, полученное Ф. Куликом, дает зависимость амплитуды возмущений от времени. Примеры результатов численных расчетов Ф. Кулика показаны на рис.7. Начальные условия задавались в виде стоячей волны основной частоты камеры. Начальное возмущение составляло равную часть первой и второй моды, но после трех циклов давление почти не содержало второй гармоники. Влияние связи с переходным горением в этом случае, очевид­но, играет решающую роль; функция чувствительности при принятых А и В по­казывает это в сильной степени для основной частоты и в слабой - для второй моды. Можно отметить также, что амплитуда давления начинает возрастать не сразу; более того наблюдается даже некоторое ее затухание после одного цикла. Это можно объяснить тем, что скорость горения только после нескольких циклов достигает значения, соответствующего возникшим возмущениям давления.

Рис.7. Результаты численных расчетов для основой неустойчивой моды (а, б) и устойчивой второй гармоники (б)(в виде зависимости безразмерной амплиту-ды возмущения давления от безразмерного времени): А = 11,5; В = 0.64; размеры частиц 2 микрона; ;