Поперечные колебания прямых стержней

Основные допущения и уравнение поперечных колебаний прямого стержня

При выводе уравнения поперечных колебаний стержня (или балки) мы будем предполагать, что в недеформированном состоянии так называемая упругая ось[1] стержня прямолинейна и совпадает с линией центров тяжести поперечных сечений стержня. Эту прямолинейную ось мы примем за координатную ось x: и от нее будем отсчитывать отклонения элементов стержня при поперечных колебаниях. При этом мы будем считать, по крайней мере на пер­вых порах, что отклонения отдельных точек оси стержня про­исходят перпендикулярно к прямолинейному, недеформированному ее направлению, пренебрегая смещениями этих точек, параллель­ными оси.

Далее, мы предполагаем, что отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях происходят в одной плоскости («плоскость колебаний») и являются «малыми» отклонениями в том смысле, что возникающие при этом восстанавливающие силы остаются в преде­лах пропорциональности.

При таких предположениях отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях однозначно определяются одной функцией двух переменных — координаты x и времени t:

Эта функция удовлетворяет линейному дифференциальному урав­нению в частных производных четвертого порядка, которое может быть построено следующим образом.

Обозначим через μ(х) массу единицы длины стержня (кГ/м), через EJ—жесткость на прогиб [ Е (Па) — модуль упругости, J(м⁴) - момент инерции поперечного сечения стержня относительно центральной оси сечения, перпендикулярной к плоскости колебаний], J_в (кГ∙м²) — момент инерции единицы длины стержня относи­тельно центральной оси, перпендикулярной к плоскости колебаний. На стержень действует распределенная поперечная нагрузка, интенсив­ность которой мы обозначим через f(x,t), а также продольная сила (растягивающая или сжимающая), направленная по оси стержня с интенсивностью Р(x,t). Эти нагрузки могут зависеть не только от поло­жения элементов стержня, но и от времени.

Кинетическая, энергия колеблющегося стержня складывается из Кинетической энергии поперечных смещений элементов стержня

(2.1)

и кинетической энергии вращений элементов стержня вокруг осей, перпендикулярных к плоскости колебаний,

(2.2)

Потенциальная энергия равна сумме трех слагаемых:

а) потенциальной энергии упругой деформации (работа восстана­вливающих упругих сил)

(2.3)

б) потенциальной энергии прогиба от поперечной нагрузки f(x, t)

(2.4)

в) и, наконец, потенциальной энергии растяжения от продольной силы Р(x,t)

(2.5)

Функционал S Остроградского-Гамильтона имеет здесь вид

 

(2.6)

Уравнение поперечных колебаний стержня мы получим, составив для функционала S уравнение Эйлера

(2.7)

Это линейное уравнение четвертого порядка, составленное при самых общих предположениях относительно действующих на стержень сил, жесткости и распределения массы.

В стержнях, длина которых значительно превосходит поперечные размеры, можно пренебречь инерцией вращения и опустить в левой части уравнения (2.7) последний член.

Положив f(x,t)=0 и р(х,t)=0, мы рассмотрим сначала сво­бодные колебания однородного стержня с постоянными жесткостью EJ и погонной массой μ. Для таких колебаний уравнение (2.7) будет иметь вид

(2.8)

где

Краевые и начальные условия

В простейших случаях, когда конец стержня свободен, или жестко закреплен, или шарнирно оперт, краевые условия выражаются следующими соотношениями:

а) конец стержня свободен; на таком конце равны нулю изги­бающий момент и поперечная сила, следовательно,

б) конец стержня жестко закреплен; на таком конце равны нулю прогиб и угол поворота, т. е.

в) в) конец стержня свободно оперт (или закреплен шарниром); в этом случае равны нулю прогиб и изгибающий момент, т. е.

Краевые условия, ограничивающие свободу перемещений концов Стержня, называются геометрическими условиями. Таковы, напри­мер, условия, в силу которых равны нулю прогиб и угол поворота, т, е. условия

Условия, налагающие ограничения на изгибающий момент и попе­речную силу, например, условия, выражающиеся равенствами

мы будем называть динамическими условиями.

В других случаях условия закрепления концов стержня выра­жаются более сложным образом. Например, при упругом закрепле­нии конца стержня соответствующее такому закреплению краевое условие должно учитывать характер возможных смещений конца и возникающих при этом упругих восстанавливающих сил. Так будет, например, в случае закрепления упругого для поперечных смещений конца и жесткого для поворота или, наоборот, жесткого для попе­речных смещений и упругого для поворота и т. д. С такими упру­гими закреплениями приходится встречаться при расчете на колеба­ния турбинных лопаток, концы которых связаны бандажом, а также при учете упругой податливости заделки хвоста в ободе диска. Отметим, что, оставаясь в пределах линейной теории, мы ограничиваемся рассмотрением краевых условий, выражающихся уравнениями, линейными относительно величин

Начальные условия выражаются соотношениями

имеющими место в момент t=0, где и(х) и v(x)—некоторые заданные функции переменной x, определяющие начальное распре­деление по оси стержня поперечных отклонений и скоростей отдель­ных его элементов.