Уравнение движения (волновое уравнение)

Уравнение состояния среды P = Ce отображает равновесие, т.е. статику среды. Если же напряжения не уравновешены, то появляются ненулевые производные напряжения по пространственнвм координатам и времени. Среда выводится из статического состояния, что приводит к образованию и распространению упругих волн.

Уравнения движения связывают вторую пространственную производную напряжения со второй производной по времени от смещения частиц. Для однородной изотропной среды эта связь записывается следующим образом:

 

 

 

 

Через упругие коэффициенты записываются выражения для скорости продольных и поперечных волн

 

 

Здесь σ – плотность среды, а λ – один из упругих коэффициентов Ламе (λ и μ). не имеющий физического смысла. Из этих формул хорошо видно, что V_p>V_s. Теоретические исследования, подтверждаемые практикой, показывают, что .

Теперь можно подытожить основные отличия объемных волн P и S: разные скорости, разный характер поляризации колебаний и, наконец, вполне понятно, что поперечные волны могут распространяться только в твердых средах (деформации формы!), а продольные в любых. Помимо объемных волн существуют еще поверхностные.

Поверхностные волны обычно возникают при возбуждении колебаний вблизи дневной поверхности, а распространяются не вглубь среды, а бегут вдоль этой поверхности в подстилающем слое, толщина которого равна примерно длине волны. Поверхностные волны в основном низкочастотные с весьма своеобразным продольно-поперечным характером поляризации колебаний: частицы в этой волне движутся по эллиптическим орбитам. Скорости распространения этих волн наиболее низкие: V_R≈0,9V_s

Такие волны называют Релеевскими(R), по имени знаменитого британского физика лорда Релея, который дал первое теоретическое их описание. Релеевские волны всегда в той или иной мере присутствуют на сейсмических записях, являясь сильной помехой для регистрации отраженных волн.

Помимо Релеевских существуют еще поверхностные волны Лява с чисто поперечным характером поляризации колебаний. Они обычно возникают при глубокофокусных землетрясениях и на сейсморазведочных записях не наблюдаются.

 

 

Динамические характеристики волн. Профиль волны и запись колебаний.

 

Представим себе, что по лучу, изображенному на рис. 34 мы проведем регистрацию колебаний в фиксированный момент времени t=t₁. Эти колебания сосредоточены в кольцевой области II. По результатам наблюдений можно построить график зависимости амплитуды u смещения частиц (интенсивности колебаний) от расстояния r (источник - приемник). Условимся отклонение частиц от невозмущенного положения в зоне сжатия рисовать в положительной области графика, а в зоне растяжения - в отрицательной. В точке перехода от зоны сжатия к зоне растяжения кривая u(r) должна переходить через нуль, то -есть пересекать ось абсцисс.

График этот, называемый профилем волны, должен иметь такой вид(Рис.38а)

 

	Рис.38

 

Точки на профиле волны с наибольшими положительными или отрицательными отклонениями (амплитудами смещений) образуют, соответственно, горбы и впадины, то есть процесс распространения сейсмических волн качественно можно охарактеризовать как перемещение в упругой среде горбов и впадин. Расстояние между двумя соседними горбами называют видимой длиной волны. Амплитуда горба в области переднего фронта должна быть больше, поскольку на эти области приходится большая часть сейсмической энергии. Если провести регистрацию в более поздний момент времени t₂=t₁+Δt, волна убежит дальше от источника. Если среда идеально упругая, то есть поглощение сейсмической энергии в ней отсутствует, то профиль волны для нового положения колеблющейся области II останется таким же, но все амплитуды смещений уменьшатся пропорционально новому удалению от источника.

Теперь рассмотрим поле смещений волны в зависимости от времени в фиксированной точке наблюдения, находящейся на определенном расстоянии r₁ от источника. Представление об этом поле дает график зависимости u от времени t при закрепленном r = r₁ (допустим, что в этой точке стоит сейсмоприемник).

Этот график называется трассой, или записью колебаний и показан на рис.38б.

Записи колебаний это основной первичный материал сейсморазведки. Совокупность записей, зарегистрированных одной расстановкой сейсмоприемников, образует сейсмограмму. Кривая u(t) при фиксированном r похожа на предыдущую: и здесь переднему фронту, который приходит к сейсмоприемнику раньше по времени, соответствует наибольшая амплитуда колебаний А₁. Время t_в, когда это фронт подошел к сейсмоприемнику, называют вступлением волны, а промежуток времени τ, охватывающий всю длительность колебания, проходящего через сейсмоприемник – длительностью импульса. Поскольку функция u(t) ограничена по времени, ее нельзя рассматривать как гармоническую (хотя она и похожа на синусоиду, вернее, на ее фрагмент). То же можно сказать и о графике, названном профилем волны. Поэтому там расстояние между соседними горбами мы определяли как видимую длину волны (а не просто длину волны), а здесь, то есть на рис 38б, расстояние между соседними одноименными фазами колебания (максимумами или минимумами) называют видимым периодом Т.

Связь между периодом и длиной волн определяется скоростью распространения волны: λ=VT

В точке, находящейся на большем (r₂) удалении от источника, запись колебаний такая же, но так же как и для профиля волны все амплитуды будут меньше (пропорционально расстоянию).

Величина будет называться видимой частотой, а точки на записи, где смещения достигают экстремальных значений - видимыми фазами φ_в.

В идеально упругой среде форма профиля и записи не изменяется: горбы и впадины перемещаются с постоянной скоростью, называемой фазовой скоростью v_ф.

В реальных, то есть неидеально упругих средах форма профиля и записи волны с расстоянием от источника изменяются. В этом случае фазовая скорость зависит от частоты. Зависимость фазовой скорости от частоты называется дисперсией скорости.

В результате дисперсии скорости перемещения фронта волны и ее фазовых поверхностей оказываются разными. Под скоростью перемещения фронта понимают скорость движения огибающей всего волнового пакета (записи волны). Такая скорость называется групповой.

Важно заметить, что форма волны в реальных средах существенно зависит от свойств среды, через которую бежит волна. То есть информация о свойствах среды содержится не только в скоростях распространения волн, но и в рассмотренных динамических характеристиках – частотах, амплитудах, периодах, длительностях, соотношении фаз колебаний. Разные среды характеризуются также разной дисперсией скоростей и т.д. Поэтому при геологической интерпретации данных сейсморазведки уделяется внимание не только кинематическим параметрам (временам прихода волн), но и динамике волнового процесса.

Одним из показателей динамики является и отмеченное уже уменьшение интенсивности колебаний по мере удаления от источника (увеличения времени регистрации). Это явление носит название геометрического расхождения. Речь идет о геометрическом расхождении волновых фронтов – увеличении радиуса сферической поверхности волнового фронта по мере ее удаления от источника. Энергия взрыва, которая обусловлена количеством взрывчатого вещества (ВВ) – вполне определенная величина, а область пространства занятого колебаниями, непрерывно расширяется. Поэтому доля энергии, приходящаяся на единицу объема этого пространства столь же непрерывно убывает (пропорционально r²) и амплитуда колебаний становится все меньше. Амплитуда смещений равна квадратному корню из энергии и поэтому уменьшается пропорционально r.