Деформации и напряжения. Упругие коэффициенты.

Деформации объема удобно рассмотреть на примере модели линейного элемента (ребро параллелепипеда), то есть тела, имеющего только один размер. Физически такое тело можно представить в виде длинного и узкого стержня, поперечный размер которого пренебрежимо мал в сравнении с длиной. Закрепим такой стержень верхним торцом, а к противоположному концу приложим растягивающую нагрузку (силу) - F (рис 36).

 

 

В результате приложения этой силы частички сместятся. Обозначим вектор смещения через , а его составляющие по осям координат через u, v и ω соответственно. В рассматриваемом случае можно учитывать только составляющую u, пренебрегая остальными. Обозначим смещение, полученное частичками, отстоящими от закрепленного конца стержня на расстояние х через u. Вследствие действия сил сцепления между частичками, составляющими стержень (сил межчастичного взаимодействия, пружинок),– смещения будут тем меньше, чем ближе к закрепленному концу стержня они находятся. Это значит, что более удаленные частички, то есть х + Δх получат большее смещение, то есть u +Δu.

Возьмем теперь разность смещений и отнесем ее к разности удалений - . Если устремить Δх к нулю и взять предел этого отношения, то перейдем от бесконечно малых к производной .

По физическому смыслу это есть относительное удлинение линейного элемента, его деформация, которую мы обозначим как e_xx. Теперь возьмем векторную сумму всех сил, действующих на свободный торец стержня и отнесем ее к площади его поперечного сечения S –получим величину приложенного напряжения, которое обозначим через Р

Составляющая этого вектора Р_x будет связана с деформацией e_xx линейной зависимостью, называемой законом Гука: величина деформации прямо пропорциональна величине приложенного напряжения (вскользь этот закон уже упоминался в лекции по гравиразведке). Этому закону подчиняются упругие среды. Понятно, что геологические среды поведут себя как упругие только тогда, когда напряжения будут невелики и весьма кратковременны (как известно, геологические среды при длительно прилагаемых нагрузках деформируются пластически, «текут», изгибаются в складки без разрыва сплошности, а если напряжения велики, то с разрывом – сбросы, надвиги).

Закон Гука может быть записан в виде соотношения

,

отсюда

 

Коэффициент пропорциональности между напряжением и деформацией обозначим через Е. Этот упругий коэффициент носит название модуль Юнга или коэффициент продольного растяжения.

По физическому смыслу Е – это сила, которую надо приложить, чтобы произошло удлинение стержня, равное единице длины, то есть одному метру. Размерность Е, как это видно из приведенного соотношения, совпадает с размерностью напряжения Р, поскольку e_xx – относительная (безразмерная) величина. То есть размерность Е - (ньютон на метр в квадрате). Вполне понятно, поскольку растянуть линейный элемент на метр исключительно тяжело, что сами по себе величины Е очень велики. Так, для осадочных пород значения Е заключены в диапазон от 0,05·10¹⁰ до 10·10¹⁰н/м², для кристаллических диапазон у'же и сами значения выше - от 3·10¹⁰ до 20·10¹⁰н/м², для воды 2·10¹⁰н/м².

Еще один упругий коэффициент, смысл которого может быть уяснен из приведенной модели, носит название коэффициента поперечного сжатия, или коэффициента Пуассона, обозначаемого греческой буквой ν (ню). Он представляет собой отношение относительного сжатия стержня δy/y к относительному удлинению δx/x

Понятно, что в результате приложения растягивающей нагрузки стержень удлинится на δх (по отношению к первоначальной длине х) и станет уже на δy (по отношению к первоначальной длине y).

Понятно также, что ν – безразмерная величина и, как правило, очень маленькая. Для подавляющего большинства горных пород ν близко к 0,25 и только для очень рыхлых пород ВЧР (верхней части разреза) приближается к 1.

Коэффициент Пуассона можно также записать в виде соотношения ν = - e _yy/ e _xx, где e _yy –

относительное растяжение по оси y, а e _xx – относительное сжатие по оси x.

Через линейные элементы (точнее, через относительные удлинения всех сторон объемного тела – параллелепипеда, который легко описать тремя линейными элементами, исходящими из одной точки – вершины: длина х, ширина у, высота z) может быть найдено изменение всего этого малого объема, его объемное расширение, или кубическая дилатация Θ

 

Из приведенной записи хорошо видно, что это математическая операция с вектором смещения . Такая операция называется дивергенцией вектора и индексируется оператором div, что означает расхождение

 

Модель сдвиговой деформации представлена на рис.37 на примере грани рассматриваемого параллелепипеда, одна сторона которой закреплена, а к противоположной приложена внешняя сила F.

 

 

 

Рис.37. Сдвиговая деформация.

 

Тогда понятно, что частички из ряда, удаленного от начала координат на расстояние х получит смещение v (составляющая вектора вдоль оси y, по направлению которой приложена сила F), а частички х+Δх сместятся сильнее – v+Δv. Взяв, подобно тому, как это было сделано выше, предел отношения приращения по у к приращению по х при Δх, стремящемуся к 0, получим выражение для деформации γ в виде производной

 

Сама эта деформация, которую можно также записать в виде e _yx выразится в сдвиге сторон или в скошении γ прямого угла, точнее, она будет представлять собой тангенс этого угла, но для малых углов, как известно tgγ ≈ γ. Если закрепить другую грань (по оси х) и приложить в направлении х внешнюю нагрузку к противоположной грани, то получим аналогичное скошение ., или e _xy

Суммарное скошение (e _{yx +} e _xy), если закрепить грань только в одной верхней угловой точке и приложении одинаковых касательных сил к двум сторонам грани, как показано на рис. 37, определяется как , где Р_ху – составляющая тангенцильного напряжения, а μ – коэффициент пропорциональности между напряжением и деформацией, называемой модулем сдвига. Таким образом, видно, что при касательных напряжениях происходит изменение формы первоначальных объемов – деформация формы (или сдвига частичек одного ряда относительно другого или перекосы).

При неравенстве сил, прикладываемых к граням, кроме сдвиговых возникают вращательные компоненты деформации, представляемые в виде разности сдвиговых компонент

- dv/dx = ω_xy.

Аналогичным образом можно записать выражения для других пар ω_xz и ω_xz.

В результате действия сдвиговых компонент изменяется форма исходного объема, поэтому такая деформация называется деформацией формы.