Течение жидкости, уравнение неразрывности

 

Движение жидкости называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости - потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в данный момент времени (рисунок 9.1).

Линии тока проводятся так, чтобы густота их была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Часть жидкости, ограниченная ли­ниями тока, называется трубкой тока.

Рисунок 9.1 – Линия тока и трубка тока

 

Течение жидкости называется установившимся (или стационарным ), если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Предположим, что несжи­маемая жидкость течет по горизонтальной трубе с перемен­ным сечением (рисунок 9.2). Выделим мысленно несколько сечений в трубе, площади которых обозначим и . При стационар­ном течении через любое поперечное сечение трубы за равные промежут­ки времени переносятся одинаковые объемы жидкости.

 

Рисунок 9.2 – Течение жидкости в трубе переменного сечения

Пусть – скорость жидкости через сечение – скорость жид­кости через сечение . За время объемы жидкостей, протекающих через эти сечения, будут равны:

 

Так как жидкость несжимаема, то .

Следовательно,

. (9.5)

 

Другими словами, для несжимаемой жидкости . Это соотношение называется уравнением неразрывности.

 

Уравнение Бернулли

 

Идеальной жидкостью называется воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения.

В стационарно текущей идеальной жидкости выбираем трубку тока, ограниченную сечениями S₁ и S₂. По закону сохранения энергии изменение полной энергии жидкости массой m в местах сечений S ₁ и S₂ равно работе внешних сил по перемещению этой массы жидкости: E₂-E ₁ =A.

Энергия жидкости в двух состояниях:

 

(9.6)

 

Работа внешних сил по перемещению массы жидкости:

 

где

 

а силы

Учитывая все это получим

 

.

 

Согласно уравнению непрерывности, объем, занимаемый жидкостью,

 

Используя выражение m = ρ Δ V, где ρ - плотность жидкости, запишем уравнение Бернулли:

 

(9.7)

где p – статическое давление (давление жидкости на поверхности обтекаемого тела); ρgh - гидростатическое давление - динамическое давление.

Уравнение Бернулли - выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости.

Из уравнения Бернулли и уравнения неразрывности следует, что при течении жидкости по трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах.