Затухающие и вынужденные колебания

Затуханием колебаний называют уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой (например, превращение энергии колебаний в теплоту вследствие трения в механических системах). Затухание нарушает периодичность колебаний, потому они уже не являются периодическим процессом. Если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода колебаний – Т (на рисунке 7.6 А ₀ – начальная амплитуда колебаний).

 

Рисунок 7.6 – Характеристики затухающих колебаний

 

Затухающие механические колебания пружинного маятника происходят под действием двух сил: силы упругости и силы сопротивления:

где r – коэффициент сопротивления.

Воспользовавшись уравнением второго закона Ньютона, можно получить:

или

Разделим последнее уравнение на m и введем обозначение или

где β коэффициент затухания, тогда уравнение примет вид

 

(7.20)

 

Данное выражение и есть дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Решением этого уравнения является

 

(7.21)

Отсюда следует экспоненциальный характер затухающих колебаний, т.е. амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону (рисунок 7.6):

(7.22)

Относительное уменьшение амплитуды колебаний за период характеризуется декрементом затухания, равным

(7.23)

или логарифмическим декрементом затухания:

 

(7.24)

 

Коэффициент затухания β обратно пропорционален времени τ в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз:

т.е. (7.25)

Частота затухающих колебаний всегда меньше частоты собственных колебаний и может быть найдена из выражения

(7.26)

где ω₀ частота собственных колебаний системы.

Соответственно период затухающих колебаний равен:

 

или (7.27)

С увеличением трения период колебаний возрастает, а при период .

Для получения незатухающих колебаний необходимо воздействие дополнительной переменной внешней силы, которая подталкивала бы материальную точку то в одну, то в другую сторону и работа которой непрерывно бы восполняла убыль энергии, затрачиваемой на преодоление трения. Такая переменная сила называется вынуждающей F _вын, а возникающие под ее действием незатухающие колебания – вынужденными.

Если вынуждающая сила изменяется в соответствием с выражением, то уравнение вынужденных колебаний примет вид

(7.28)

Так как

то

 

(7.29)

где ωциклическая частота вынуждающей силы.

Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Реше­ние его может быть записано в виде

Уравнение описывает гармоническое колебание, происходящее с частотой, равной частоте вынуждающей силы, отличающееся по фазе на φотносительно колебаний силы.

Амплитуда вынужденного колебания:

(7.30)

Разность фаз между колебаниями силы и системы находится из вы­ражения

(7.31)

График вынужденных колебаний приведен на рисунке 7.7.

 

 

Рисунок 7.7 – Вынужденные колебания

 

При вынужденных колебаниях может наблюдаться такое явление, как резонанс. Резонанс это резкое возрастание амплитуды колебаний системы.

Определим условие, при котором наступает резонанс, для этого рас­смотрим уравнение (7.30). Найдем условие, при котором амплитуда при­нимает максимальное значение.

Из математики известно, что экстремум функции будет, когда про­изводная равна нулю, т.е.

 

Дискриминант равен

 

Следовательно

если

 

или

 

После преобразования получаем

Следовательно – резонансная частота.

В простейшем случае резонанс наступает, когда внешняя периоди­ческая сила F меняется с частотой ω, равной частоте собственных колеба­ний системы ω = ω₀.

 

 

Механические волны

 

Процесс распространения колебаний в сплошной среде, периодический во времени и пространстве, называется волновым процессом или волной.

При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передается лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Выделяют следующие типы волн:

Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. В любой упругой волне одновременно существуют два вида движения: колебание частиц среды и распространение возмущения.

Волна, в которой колебания частиц среды и распространение волны происходят в одном направлении, называется продольной, а волна, в которой частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны, называется поперечной.

Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформациях сжатия и растяжения, т.е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут распространяться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т.е. в твердых телах. Таким образом, в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах – как продольные, так и поперечные.

Упругая волна называется синусоидальной (или гармонической), если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ.

Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний:

 

 

где – скорость распространения волны.

Так как (где ν частота колебания), то

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью.

Бегущими волнами называют волны, которые переносят в пространстве энергию. Для вывода уравнения бегущей волны – зависимости смещения колеблющейся точки от координаты и времени – рассмотрим плоскую синусоидальную волну, распространяющуюся вдоль оси х.

Пусть в какой-то точке среды О расположен источник колебаний:

 

 

В некоторой точке В, находящейся на расстоянии х от источника,
колебания будут отставать по времени от колебаний в точке О, так как для прохождения волной расстояния х требуется время , где – скорость распространения волны.

Уравнение колебаний в точке В будет иметь вид

Так как а то

 

После подстановки уравнение волны, бегущей вдоль оси х:

В теории волн пользуются понятием волнового вектора:

 

(7.32)

Абсолютное значение волнового вектора равно числу длин волн на отрезке 2π. Волновой вектор ориентирован в пространстве в направлении распространения волны.

В общем случае уравнение бегущей волны, распространяющейся в пространстве вдоль оси х, имеет вид

 

(7.33)

где волновое число, а фазовая скорость, или скорость распространения волны

Фазовая скорость зависит от частоты

Волновое уравнение в этом случае имеет вид

 

(7.34)

 

Этому уравнению удовлетворяют плоская и сферическая волны.