Внутренняя энергия и работа газа, теплоемкость

Термодинамическая система как совокупность множества атомов и молекул обладает внутренней энергией U.

Внутренняя энергия – это сумма энергий молекулярных взаимо­действий и энергии теплового движения молекул. Внутренняя энергия системы зависит только от ее состояния и яв­ляется однозначной функцией состояния.

Началом отсчета внутренней энергии считается такое состояние сис­темы, при котором внутренняя энергия равна нулю. Обычно считают, что внутренняя энергия равна нулю при Т = 0 К. При переходе системы из одного состояния в другое практический интерес представляет изменение внутренней энергии ∆U, поэтому выбор начала отсчета внутренней энер­гии не имеет значения.

Так как внутренняя энергия системы зависит от характера взаимо­действия всех частиц в системе, то для строгого ее определения необхо­димо учитывать также энергию электронов, движущихся на электродных оболочках атомов и ионов, и внутриядерную энергию. Поэтому часто для удобства, употребляя понятие внутренней энергии, имеют в виду не всю внутреннюю энергию данной системы, а только ту ее часть, которая су­щественна для рассмотрения данного явления.

Внутренняя энергия идеального газа. Газ, состоящий из отдельных атомов, а не молекул, называют од­ноатомным. К одноатомным газам относят инертные газы – гелий, не­он, аргон. В случае идеальных газов пренебрегают силами взаимодейст­вия молекул, т. е. их потенциальная энергия полагается равной нулю, поэтому внутренняя энергия идеального газа представляет собой кинети­ческую энергию теплового движения молекул.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы (одноатомной) равна . Опре­делим внутреннюю энергию идеального одноатомного газа массой m. Для этого среднюю энергию одного атома надо умножить на число ато­мов. В одном моле содержится N_A атомов, в газе массой m содержится v = m/М моль, поэтому внутренняя энергия идеального одноатомного газа

или (13.1)

так как kN_A = R.

Внутренняя энергияидеального газа пропорциональна массе газа и его термодинамической температуре.

Молекула одноатомного газа принимается за материальную точку, так как масса атома сосредоточена в основном в ядре, размеры которого малы. Положение одноатомной молекулы в пространстве однозначно задается тремя координатами. Говорят, что одноатомный газ имеет три степени свободы (i = 3). Эта молекула движется только поступательно. Вследствие того что молекула находится в хаотическом движении, все направления ее движения являются равноправными, т. е. средняя кинети­ческая энергия хаотического теплового движения молекулы равномерно распределена между тремя степенями свободы.

На каждую степень свободы поступательного движения одноатом­ной молекулы приходится одинаковая кинетическая энергия, равная .

Молекула двухатомного газа представляет собой два атома, жест­ко связанных между собой. Эти молекулы не только движутся поступа­тельно, но и вращаются.

Такая молекула кроме трех степеней свободы поступательного дви­жения имеет две степени свободы вращательного движения, т. е. i = 5. Если газ многоатомный, то i = 6.

Внутренняя энергия многоатомного газа представляет собой кинети­ческую энергию всех движений частиц. Все степени свободы много­атомной молекулы являются равноправными, поэтому они вносят одина­ковый вклад в ее среднюю кинетическую энергию:

(13.2) Внутренняя энергия многоатомного идеального газа массы равна

 

(13.3)

Изменить внутреннюю энергию тела (системы) можно или с помощью теплообмена, или посредством совершения работы.

Рассмотрим первый способ. Приведем в соприкосновение два тела с разной темпе­ратурой. Пусть температура первого тела выше, чем второго. В результа­те обмена энергиями температура первого тела уменьшается, а второго – увеличивается. В рассматриваемом примере кинетическая энергия хаоти­ческого движения молекул первого тела переходит в кинетическую энер­гию хаотического движения молекул второго тела.

Процесс передачи внутренней энергии без совершения механической работы называют теплообменом. Мерой энергии, получаемой или от­даваемой телом в процессе теплообмена, служит физическая величина, называемая количеством теплоты. Другими словами, енергия, переданная газу путем теплообмена (т. е. без совершения над ним работы), называется количеством теплоты Q.

Единица количества теплоты джоуль (Дж).

При сообщении системе бесконечно малого количества теплоты δQ его температура изменяется на dТ.

Теплоемкостью С системы называют величину, равную отноше­нию сообщенного системе количества теплоты δQ к изменению темпе­ратуры dT системы:

(13.4)

 

Единица теплоемкости — джоуль на кельвин (Дж/К).

Различают удельную теплоемкость (теплоемкость 1 кг вещества)

 

(13.5)

 

и молярную теплоемкость (теплоемкость 1 моль вещества)

 

(13.6)

 

При различных процессах, протекающих в термодинамических сис­темах, теплоемкости будут различны: если процесс протекает при каком-то постоянном параметре х, то удельная теплоемкость в этом процессе

. (13.7)

Зная удельную или молярную теплоемкость системы, можно опре­делить количество теплоты, полученное системой:

или (13.8)

Количество теплоты, внутренняя энергия и работа в СИ выражаются в джоулях (Дж).

Работа газа при изменении объема. Пустьв цилиндре с подвижным поршнем находит­ся идеальный газ. Действуя внешней силой на поршень, мы достаточно быстро сжимаем газ и совершаем работу по преодолению сил сопротивления газа.

При сжатии газа его внутренняя энергия увеличивается за счет coвершения поршнем механической работы. При расширении газа его внутренняя энергия уменьшается, превра­щаясь в механическую энергию движущегося поршня.

Вычислим работу, совершаемую газом при изобарном расширении. Пусть в цилиндре под поршнем находится газ, занимающий объем V под давлением р. Площадь поршня S. Сила, с которой газ давит на поршень, F = pS. При расширении газа поршень поднимется на высоту dl, при этом газ совершит работу

Но Sdl = dV – увеличение объема газа. Следовательно, элемен­тарная работа

(13.9)

Если dV > 0, то δA > 0 и работу считают положительной (газ расши­ряется).

Если dV < 0, то δA < 0 и работу считают отрицательной (газ сжимают).

Полную работу А, совершаемую газом при изменении его объема от V₁ до V₂, найдем интегрированием формулы (13.9):

 

. (13.10)

При изобарном процессе р = const, тогда

 

(13.11)

Работа при изобарном расши­рении газа равна произведению дав­ления газа на увеличение его объема.

Графически на диаграмме р, V (рисунок 13.1) работа изобарного расширения газа изображается площадью желтой фигуры..

Рисунок 13.1 – Работа газа при расширении

При изохорном процессе V= const; следовательно, величина изменения объема dV = 0 и А = 0.

При изотермическом процессе T = const. Исходя из уравнения состояния, определяем давление:

Подставив это выражение в формулу (13.1), имеем

 

(13.12)

 

Так как процесс изотермический тогда

(13.13)

Первое начало термодинамики

 

Как отмечалось выше, основу термодинамики составляют два начала (или закона). Истори­чески в формулировке первого начала термодинамики важную роль сыг­рали неудачные попытки человека построить машину, которая произво­дила бы работу, не потребляя эквивалентного количества энергии; такую машину назвали вечным двигателем (от лат. «перпетуум мобиле») перво­го рода. Поэтому первое начало термодинамики формулируют в виде следующего утверждения: невозможно построить вечный двигатель первого рода.

Первое начало термодинамики – это закон сохранения и превраще­ния энергии в термодинамике.

Как мы уже знаем, внутренняя энергия тела изменяется как при сообщении телу количества теплоты, так и при совершении над ним ра­боты, то, учитывая правила знаков, закон сохранения энергии примени­тельно к происходящему процессу можно сформулировать следующим образом: изменение внутренней энергии тела равно разности сообщенно­го телу количества теплоты и произведенной над ним механической работы:

(13.14)

 

или количество теплоты, сообщенное телу, идет на увеличение его внутренней энергии и на совершение телом работы над внешними телами:

(13.15)

 

Так формулируется первое начало термодинамики – закон сохра­нения энергии применительно к тепловым процессам.

Если в замкнутой системе, состоящей из нескольких тел, имею­щих первоначально различную температуру, происходит теплооб­мен, то никакая работа внутри системы не совершается.

Так как система замкнута, то изменение внутренней энергии систе­мы равно нулю, но происходит изменение внутренней энергии тел систе­мы. Согласно первому началу термодинамики, изменение внутренней энергии тел системы равно количеству теплоты, отданному или получен­ному этими телами до наступления теплового равновесия внутри систе­мы, т. е. состояния, при котором температура перестает изменяться.

Попробуем применить первого начала термодинамики к изопроцессам.

Изохорный процесс. Рассмотрим нагревание одного моля газа, происхо­дящее при постоянном объеме. Так как V = const, то dV = 0, а следова­тельно, и δA=0. Из первого начала термодинамики следует, что вся теплота, сообщенная газу при изохорном процессе, идет на уве­личение его внутренней энергии:

С другой стороны тогда

(13.16)

где C_V – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Если газ идеальный, то С_V от температуры не зависит и является величиной постоянной. Выражение (13.16) показывает, что внутренняя энер­гия идеального газа» пишется однозначной функцией температуры.

Интегрируя выражение (13.16), имеем

(13.17)

Последнее выражение есть закон Джоуля: внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры и не зависит от его плотности (объема).

Из закона Джоуля и закона о равномерном распределении энергии по степеням свобода вытекает соотношение между C_V и i:

(13.18)

Изобарный процесс. Рассмотрим нагревание моля газа, происходящее при постоянном давлении (р = const). При этом изменяются объем и температура следовательно, совершается работа δA = pdV и изменяется внутренняя энергия dU. Первое начало термодинамики для этого процесса имеет вид:

 

 

При изобарном процессе поэтому первое начало термодинамики примет вид:

или, поскольку внутренняя энергия является функцией лишь температуры

(13.19)

Запишем уравнение состояния для моля идеального газа:

 

Для изобарного процесса это уравнение имеет вид:

 

 

Подставим это выражение в формулу (13.19) получим:

 

откуда

(13.20)

 

Это соотношение называют уравнением или формулой Майера.

Подставляя С_V из уравнения (13.18) в уравнение Майера, имеем

 

или (13.21)

 

Изотермический процесс. При Т = const изменение внутренней энергии dU = 0, поэтому все сооб­щаемое системе количество теплоты расходуется на совершение работы против внешних сил, следовательно:

 

Адиабатный процесс. Процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой, на­зывают адиабатным (δQ = 0).

Осуществить процесс, близкий к адиабатному, можно в том случае, если газ находится внутри оболочки с очень хорошими теплоизоляцион­ными свойствами. Адиабатными можно считать быстро протекающие процессы. При быстром сжатии газа затрачивается работа, приводящая к увеличению внутренней энергии и повышению температуры. Примером адиабатного процесса может служить взрыв горючей смеси при работе двигателя внутреннего сгорания.

Первое начало термодинамики для адиабатного процесса имеет вид

или

 

При адиабатном процессе работа совершается только за счет изме­нения внутренней энергии газа, т. е.

 

откуда

 

При адиабатном расширении газ совершает работу, его внутренняя энергия и, следовательно, температура понижаются.

При адиабатном сжатии работа газа отрицательна, его внутренняя энергия и, следовательно, температура возрастают. Явление охлаждения газа при адиабатном расширении широко используется в технике, напри­мер в работе холодильных установок.

Для моля идеального газа справедливо уравнение Клапейрона – Менделеева

 

Из этого уравнения при условии, что изменяются все три параметра (р,V,T), имеем

 

Учитывая, что получаем .

 

Используя уравнение Майера (13.20), запишем

 

 

Разделим это выражение на (C_VVp) и введем обозначение у = С_р /С_V. Тогда . Интегрируя это выражение, имеем где А — постоянная интегрирования. Из всего этого следует, что

 

(13.22)

Полученное уравнение для адиабатического процесса называется уравнением Пуассона. Оно связывает па­раметры состояния газа при данном про­цессе.

На плоскости (p, V) процесс адиабатического расширения (или сжатия) газа изображается кривой, которая называется адиабатой. При адиабатическом расширении газ совершает положительную работу (A > 0); поэтому его внутренняя энергия уменьшается (ΔU < 0).

Это приводит к понижению температуры газа. Вследствие этого давление газа при адиабатическом расширении убывает быстрее, чем при изотермическом расширении (рисунок 13.2.)

Учитывая, что а имеем

 

, (13.23)

 

(γ – показатель адиабаты или коэффициент Пуассона).

 

 

Рисунок 13.2 – Семейства изотерм (красные кривые) и адиабат (синие кривые) идеального газа.

 

Вычислим работу А, совершаемую 1 молем идеального газа при адиабатном процессе:

 

 

Так как то

(13.24)

Тепловые машины, цикл Карно

Важным прикладным приложением термодинамики являются тепловые машины. Под тепловой машиной понимают устройство, преобразующее некоторую часть полученного количества теплоты в механическую работу. Механическая работа в тепловых двигателях производится в процессе расширения некоторого вещества, которое называется рабочим телом. В качестве рабочего тела обычно используются газообразные вещества (пары бензина, воздух, водяной пар).

Тепловые машины делят на два класса: машины одноразового действия (ракета, пушка и т.п.) и циклические машины (паровые машины, двигатели внутреннего сгорания).

Циклом называется процесс, начало и конец которого - совпадают. Примером циклического процесса является процесс, изображённый на рисунке 13.3. Работа цикла складывается из работы самой системы (участок abc) и работы над системой (участок cda).

 

 

Рисунок 13.3 – Круговой процесс на диаграмме (p, V). abc – кривая расширения, cda – кривая сжатия. Работа A в круговом процессе равна площади фигуры.

 

Работа цикла численно равна площади фигуры abcd. Газ совершает работу на участке abc за счёт полученного от нагревателя количества теплоты, а на участке cda над газом совершается работа внешними силами. Чтобы работа внешних сил была меньше работы газа, необходимо её совершать при более низкой температуре, а, следовательно, некоторое количество теплоты должно перейти от рабочего тела – газа - к менее нагретому телу – холодильнику. Энергетическая схема тепловой машины изображена на рисунке 13.4.

Утверждение о том, что для совершения полезной работы в циклической машине необходимо участие двух тел с различной температурой, называется принципом Карно.

 

Рисунок 13.4– Энергетическая схема тепловой машины: 1 – нагреватель;

2 – холодильник; 3 – рабочее тело. Q ₁ > 0, A > 0, Q ₂ < 0; T ₁ > T ₂.

 

Цикл, при помощи которого количество теплоты, отнятое от какого-нибудь тела, можно наилучшим образом преобразовать в механическую работу, называется циклом Карно. В качестве рабочего тела здесь выступает идеальный газ. Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат (рисунок 13.5).

 

Рисунок 13.5– Схема цикла Карно

 

На участке 1-2 рабочее тело контактирует с нагревателем (телом с большой теплоёмкостью) и получает от него количество теплоты Q₁ . При этом реализуется изотермическое расширение газа (из-за большой теплоёмкости нагревателя его температура не изменяется). Это самый выгодный однократный процесс, при котором всё полученное количество теплоты переходит в механическую работу, согласно первому началу термодинамики:

(13.25)

Участок 2-3 соответствует адиабатному расширению идеального газа. На этом этапе разорван контакт с нагревателем и рабочее тело не обменивается количеством теплоты с другими телами. Это тоже выгодно, поскольку в этом случае газ совершает работу за счёт собственной внутренней энергии, вследствие чего она уменьшается, температура газа становится равной Т₂ . Согласно первому началу термодинамики,

(13.26)

 

На участке 3-4 рабочее тело приводится в тепловой контакт с холодильником, имеющим большую теплоёмкость и температуру Т₂. Здесь при более низкой температуре газ сжимают изотермически, совершая над ним работу, численно равную отданному холодильнику количеству теплоты, работа же самого газа, так же, как и отданное количество теплоты, отрицательна:

 

(13.27)

 

При более низкой температуре, когда внутренняя энергия меньше первоначальной, газ сжимать легче, поэтому работа А₃₄ меньше работы А₁₂. Изотермическое сжатие опять-таки является самым выгодным, поскольку не нужно изменять внутреннюю энергию газа, затрачивая на это дополнительную работу внешних сил. На последнем участке цикла Карно необходимо вернуть газ в первоначальное состояние наивыгоднейшим образом, то есть адиабатно сжать его. При адиабатном сжатии нет теплового контакта рабочего тела с холодильником, а работа внешних сил полностью идёт на увеличение внутренней энергии газа:

(13.28)

 

Полезная работа за цикл равна алгебраической сумме работ каждого участка цикла Карно: . Сравнение формул (13.25) и (13.28) позволяет заключить, что работа газа на участке 2-3 по величине равна работе газа на участке 4-1, но противоположна по знаку, следовательно, алгебраическая сумма работ на этих участках равна нулю, а работа за цикл будет определяться суммой работ участков 1-2 и 3-4:

(13.29)

 

Для дальнейшего преобразования полезной работы рассмотрим уравнения адиабаты на участках 2-3 и 4-1, записанные через объём и температуру: и . Поделим второе уравнение на первое и получим: или . Учитывая это равенство, можно вынести за скобки натуральный логарифм отношения объёмов в формуле (13.29) и получить выражение для полезной работы за цикл Карно:

(13.40)

 

Эффективность работы тепловых машин характеризуют коэффициентом полезного действия , определяемым как отношение полезной работы, произведённой за цикл, к количеству теплоты, полученному от нагревателя за цикл:

(13.41)

Подставим в эту формулу полезную работу, произведённую за цикл Карно, определяемую по формуле (13.40), и количество теплоты, полученное от нагревателя, определяемое по формуле (13.25), после преобразования получим выражение для расчёта коэффициента полезного действия (КПД) цикла Карно:

(13.42)

Эта формула пригодна только для расчёта КПД цикла Карно. КПД других циклов рассчитывают, используя общую формулу (13.41). В случае, когда имеется несколько нагревателей, можно рассчитать полученное количество теплоты, суммируя количества теплоты от каждого нагревателя, по формуле:

(13.43)