Гидравлический расчет простых и сложных напорных трубопроводов при изотермическом режиме течения

Гидравлический расчет трубопроводов при движении по ним однофазных жидкостей сводится обычно к определению или диа­метра D, или начального давления р₁, или пропускной способности Q по известным формулам общей гидравлики. Основой гидравлических расчетов трубопроводов является известное уравнение Бернулли:

 

(2.1)

 

Каждый член уравнения в скобках имеет размерность высоты: z –геометрические отметки различных точек линии тока над плоскостью сравнения (геометрический напор); p/(rg)- пьезометрический напор; v²/2g – скоростной напор. Сумма z + p/(rg) называется потенциальным напором. Сумма всех трех слагаемых называется полным напором жидкости в данном живом сечении. С энергетической точки зрения слагаемые уравнения Бернулли представляют собой удельную (приходящуюся на единицу веса жидкости) энергию: [z +p/(rg)]-удельная потенциальная энергия; v²/(2g) – удельная кинетическая энергия. При дви­жении жидкостей по трубам энергия расходуются в основном на преодо­ление сил трения h_тр и местных сопротивлений h_м.с в трубопрово­дах (задвижки, вентили, колена и т. д.).

Определение потерь напора на трение. Потери напора на преодоление сил трения h_тр по длине трубопровода круглого сечения определяются по формуле Дарси-Вейсбаха:

 

(2.2)

 

или

 

, (2.3)

 

где h_тр – потери напора на преодоление сил трения, м; – потери давления, Па; l – длина трубопровода, м; D – диаметр трубопровода, м; – плотность жидкости, кг/м³; v – средняя скорость течения жидкости, м/с; Q – расход жидкости, м³/с; g – ускорение свободного падения, м/с²; – коэффициент гидравлического сопротивления (безраз­мерный), в общем случае зависящий от числа Рейнольдса (Re) и относительной шероховатости, т. е.

 

,

 

где – абсолютная шероховатость трубы, см; D – диаметр трубопровода, см.

Если течение в трубе ламинарное, (Re<2300), то коэффициент гидравлического сопротивления не зависит от шероховатости трубы и равен

 

. (2.4)

 

Здесь

 

, (2.5)

 

где Q – расход жидкости, м³/с; – площадь сечения тру­бы, м²; –кинематическая вязкость жидкости, м²/с; D – внутрен­ний диаметр трубопровода, м; – динамическая вязкость жид­кости, Па^.с.

При турбулентном течении жидкости (Re>2800) для определения , принимается несколько экспериментальных формул: 1) переходный режим (от ламинарного к турбулентному); 2) смешаный режим; 3) квадратичный режим.

Для переходного и смешанного режима (числа Рейнольдса от 2800 до 10⁵) определяется по формуле Блазиуса:

 

. (2.6)

 

Для квадратичного режима движения определяется по фор­муле Б. Л. Шифринсона

 

. (2.7)

Определение гидравлического уклона.Гидравли­ческий уклон характеризует потерю напора на единицу длины трубопровода, т. е. согласно (2.2)

 

. (2.8)

 

Подставив в (2.8) значения из (2.4) и (2.6) и после несложных преобразований, получим зависимости, удобные для практических расчетов:

для ламинарного режима

 

; (2.9)

 

для турбулентного режима

 

. (2.10)

 

В результате получается:

для ламинарного режима

; ; (2.11)

 

для турбулентного режима

 

; , (2.12)

 

где D, см, , см²/с; Q, л/с, м³/ч, м³/cyт. В соответствии с принятой размерностью принимаются следующие значения коэффициентов а и b.

 

Q	л/с	м^3/ч	м^3/cyт.
a	41,53	11,54	0,480
b	43,76	4,65	0,018

 

Потери напора на трение по всей длине трубопровода определяются по формуле:

 

. (2.13)

 

Пример 1. По трубопроводу с внутренним диамет­ром 100 мм и длиной 3 км подается нефть в количестве 200 т/сут., плотностью =0,8 т/м³ и вязкостью =5 Ст (см²/с=5^.10^-4 м²/c). Определить потери дав­ления, выразив их в Па, кгс/см² и м.

Решение. Вначале определяем скорость нефти (м/с):

 

.

 

Режим движения нефти определяется по (2.5)

 

,

 

т. е. режим ламинарный.

Коэффициент гидравлического сопротивления определяем по формуле (2.4)

 

.

 

Перепад давления (в Па) найдем, используя формулу (2.3),

 

.

 

Перепад давления, выраженный в кгс/см² (1 кгс/см²=9,81^.10⁴ Па)

 

 

Перепад давления, выраженный в м,

 

.

Определение потерь напора на местные сопро­тивления. К местным сопротивлениям относятся сопротивления в закруглениях труб, резких поворотах, отводах, кранах, вентилях, задвижках, клапанах и т. д. Местные сопротивления необходимо учитывать при расчете всасывающих линий (имеющих небольшую длину) насосов и компрессоров.

При больших длинах напорных трубопроводов удельный вес местных сопротивлений обычно невелик и ими часто пренебрега­ют при расчетах.

Потери напора на местные сопротивления h_м.с нахо­дятся по формуле

 

. (2.14)

 

Здесь v – средняя скорость движения жидкости в сечении потока за местным сопротивлением; – коэффициент местного сопротивления, зависящий от Re, формы местного сопротивления и шероховатости, а для запорных устройств – от степени их открытия.

В большинстве случаев удобнее определять местные сопротив­ления по так называемой эквивалентной длине (длина прямого участка трубопровода данного диаметра, на которой потеря напора на трение по длине h_тр эквивалентна потере напора h_м.с, вызываемой данным мест­ным сопротивлением).

Эквивалентная длина l_э определяется по формуле Дарси-Вейсбаха

 

(2.15)

 

и по формуле (2.14).

Приравнивая между собой правые части формул (2.14) и (2.15)

 

,

 

получаем

 

. (2.16)

 

Значения местных сопротивлений определяются из справочников.

Полный перепад давления в "рельефных" (не горизонтальных) трубопроводах определяется по формуле

 

(2.17)

где h_тр и h_м.с – соответственно потери напора на трение (путевые потери) и местные сопротивления, определяемые по (2.2) и (2.4); разность геодезических отметок в м: плюс ставится тогда, когда сумма участков подъема (z_п) трубо­провода больше суммы участ­ков спуска (z_сп), минус—в обратном случае (рис. 2.1); z_н и z_к – соответственно геодезические отметки начала и конца трубопровода.

Короткие трубопроводы (всасывающие линии насосов) также рассчитываются по формуле (2.17), только вместо раз­ности геодезических отметок принимается разность уровней вала насоса и жидкости в резервуаре.

В некоторых случаях возникает необходимость в графическом поверочном расчете, который позволяет определить давление в любой точке трубопровода. В этом случае строится в сжатом масштабе продольный профиль трубопровода, с совмещением начальных точек напорного трубопровода с отметкой оси насоса (точка А на рис. 2.1). Точка С – конечная точка тру­бопровода, соответствующая, например, отметке дна резервуара. Точка D – отметка верхнего уровня жидкости в резервуаре.

Рис.2.1. Расчетная схема простого напорного трубопровода сложного профиля

 

По вертикальной линии от оси насоса А откладывается в мас­штабе поперечного профиля общий напор H, определяемый по (2.17). Проведя горизонтальную линию, соответствующую уровню в резервуаре, получим точку а. Отрезок Аа соответствует разности геодезических отметок между осью насоса и верхним уровнем в резервуаре (z_н – z_к), а отрезок аВ – напору, идущему на преодо­ление гидравлических сопротивлений в трубопроводе h_тр. Соеди­нив точки В и D прямой линией, получим гидравлический уклон, определяемый формулой (2.8). Для определения напора в любой точке трубопровода (пунктир) необходимо из этой точки про­вести вертикальную линию до линии гидравлического уклона BD. Измеряя, например, линию Km и умножая результат замера на поперечный масштаб, получим значение напора в данной точке трубопровода. В точке К трубопровода напор будет больше на­пора, развиваемого насосом. Построение таких графиков позволяет выявить участки трубопровода с минимальными и макси­мальными напорами, что необходимо знать при расчете трубопро­вода на прочность.

При определении гидравлического уклона или тангенса угла необходимо потери напора h_тр делить на длину трубопровода l (пунктирная линия), а не на его проекцию L.

Гидравлический расчет простого напорного трубо­провода (постоянного диаметра и без ответвлений), транспор­тирующего жидкость в однофазном состоянии, сводится к определению одного из следующих параметров: 1) пропускной способности трубопровода Q; 2) необходимого начального давления р₁; 3) диаметра трубопровода D.

При этом физические свойства перекачиваемой жидко­сти – плотность и вязкость а также разность геодезических отметок ( ) считают­ся известными.

В задачах первого типа искомой является пропускная способность трубопровода Q. Коэффициент гидравлического сопро­тивления зависит от Re, а, следовательно, и от неизвестного рас­хода Q. Поэтому задачу решают графоаналитическим методом, сущность которого сводится к следующему.

Сначала задаются несколькими произвольными значениями расхода жидкости Q. Затем определяют скорость потока ( ). Далее рассчитывают режим движения ( ) и в зависимости от него определяют по формуле (2.4) или (2.6). После чего, подставляя все известные данные в (2.2), находят для данного расхода потери напора в трубопроводе h_тр и строят по найденным величинам зависимость h_тр= f (Q) (рис. 2.2,а). После этого по заданному напору h₀ находят искомую производительность трубопровода Q₀. При решении этой задачи за заданный напор h₀, определяемый из уравнения Бернулли (2.1), обычно принимают разность значений удельной потенциальной энергии

 

,

 

пренебрегая при этом скоростным напором ввиду его малости.

Рис. 2.2. Расчетные схемы простых трубопроводов

 

В задачах второго типа в зависимости от числа Рейнольдса, которое в данном случае легко определяется по извест­ным диаметру трубопровода D и расходу жидкости Q, находят , затем решают уравнение (2.3) относительно искомого начального давления.

В задачах третьего типа искомым является диаметр нефтепровода D при известном расходе жидкости Q, перепаде давлений , плотности и вязкости жидкости , а также длина трубопровода l.

Здесь, как и в задаче первого типа, зависит от режима дви­жения, т. е. от числа Рейнольдса, и от неизвестного диаметра D, входящего в Re. Поэтому данная задача решается графоаналитическим методом. Для этого задаются различными значениями диаметра трубопровода, определяют соответствующие им потери и строят зависимость h_тр = f(D) (см. рис. 2.2, б).

Необходимый диаметр трубопровода определяется по кривой (см. рис. 2.2, б) по заданному напору

 

.

 

Если такого диаметра труб в стандартах нет, то принимается ближайший наибольший диаметр.

Пример 2. 0пределить пропускную способность нефтепровода, если =p₁ – p₂ = 0,981 МПа; =z_н – z_к = +40 м; l =1000 м; D=0,1 м; =800 кг/м³; =20^.10^-3 Па^.с.

Решение. В связи с тем, что = f(Re), а, следовательно, и =f(Q), которые нам известны, задачу решаем графоаналитическим методом. Для этого сна­чала задаемся произвольными расходами Q₁, Q₂, ..., Q_i и по формуле (2.5) определяем режим движения. Зная режим движения, по формуле (2.4) или (2.6) определяем . Подставив последний в (2.2), рассчиты­ваем потери напора. Затем по полученным данным строим зависимость h_тр=f(Q) и по известному пере­паду давления h₀ определяем расход нефти.

Произвольные расходы нефти, соответствующие им скорости, а также коэффициенты гидравлического сопротивления и потери напора представлены ниже.

На рис.2.3 показана кривая зависимости h_п=f(Q),построенная по приведенным ниже данным.

Q, м^3/с	0,001	0,003	8,008	0,012	0,01	0,03
v, м/с	0,127	0,372	1,02	1,52	2,55	3,82
	0,127	0,0454	0,0395	0,0358	0,0316	0,0285
hтр, м	1,04	3,34	20,60	42,5	103,6	211,1

 

Рис. 2.3. Зависимость h_п=f(Q)

 

Перепад давления =0,981 МПа = 981 000 Па : 9,81^.10⁴ = 10 кгс/см², где 9,81^.10⁴ – переводной коэффициент из системы СИ в техническую.

Разность геодезических отметок =+40 м.

Перепад давления за счет разности геодезических отметок

.

Общий перепад давления р= 10+3,22= 13,22 кгс/см² = 132,2 м вод. ст.

На рис. 2.3 в масштабе проведена горизонтальная линия до кривой h_п=f(Q) и из точки пересечения на ось расходов Q восставлен перпендикуляр. Таким образом, пропускная способность нефтепровода получалась равной 23 л/с.

Сложный трубопровод представляет собой несколько последовательно или параллельно соединенных простых трубопро­водов, и поэтому гидравлический расчет его в принципе ничем не отличается от расчета по изложенной расчетной схеме.

Здесь мы рассмотрим расчет графическим способом сборного коллектора, транспортирующего однофазную жидкость.

По схеме (рис. 2.4) к коллектору AD длиной L подсоединены три групповые замерные установки в точках А, В и С. Пусть в этих точках в коллектор поступа­ет нефть в количестве Q₁, Q₂ и Q₃, т/сут.

Рис. 2.4. Расчетная схема сложного нефтепровода

 

Предварительно задавшись диаметром трубопровода, опреде­лим среднюю скорость движения нефти на участке коллектора АВ из равенства

 

, (2.18)

где – плотность перекачивае­мой нефти, кг/м³.

Зная среднюю скорость нефти, диаметр D и задавшись вяз­костью нефти , находим Re по формуле (2.5).

Допустим, что Re<2300, т. е. режим ламинарный. Тогда со­гласно формуле (2.9) гидравлический уклон на данном участке равен

 

.

 

Необходимый напор в точке А, согласно формуле (2.13), будет

 

.

 

В точке В в коллектор поступает дополнительное количество нефти Q₂. Таким образом, по участку коллектора ВС необходимо перекачать нефть в количестве Q₁+Q₂.

Гидравлический уклон на участке ВС

 

.

 

Необходимый напор на участке ВС

 

.

 

Для свободного движения нефти в количестве Q₁+Q₂ на уча­стке ВС необходимо, чтобы напор в точке А был равен h_А+h_В. Графически этот напор определится, если из точки b провести линию ba₂, параллельную а₁В.

Также подсчитывается гидравлический уклон на участке CD для расхода жидкости Q₁+Q₂+Q₃

 

 

и определяется суммарный гидравлический напор участка

 

.

 

Данная задача значительно усложнится, если на отдельных участках трубопровода А – D, в местах подсоединения сборных коллекторов B и C, будут турбулентные, а не ламинарные, режимы.

При последовательном соединении простых трубопроводов, имеющих различные диаметры, расход нефти или воды на всем пути остается постоянным, а общие потери напора определяются сложением потерь напора на отдельных участках.

При параллельном соединении трубопроводов разность напоров на концах участков будет одинакова, т. е. потери напора вы­ражаются формулой

 

, (2.19)

 

а сумма расходов в параллельных ветвях равна общему расходу

 

. (2.20)

 

 

2.3 Гидравлический расчет трубопроводов при движении в них нефтегазовых смесей

Большинство промысловых нефтепроводов работает с неполным заполнением сечения трубы нефтью, т. е. часть объема трубы обычно бывает занята газом.

Ниже приводятся основные понятия и определения, относящи­еся к двухфазным потокам, а также некоторые указания к расче­ту нефтепроводов, транспортирующих двухфазную смесь.

Основная сложность расчета заключается в том, что в газожидкостном потоке происходит относительное движение фаз, обусловленное их различными плотностью и вязкостью, т. е., ины­ми словами, имеет место скольжение этих фаз.

На рис. 2.5 приведены некото­рые структуры потока в горизонтальных трубах при движении в них воздушно-водяных смесей.

Рис. 2.5. Структуры газожидкостных потоков в горизонтальных трубах. Потоки: а – с пузырьками газа в верхней образующей; б – с началом образования газовых пробок; в – расслоенный; г – волновой; д – пробковое течение; е – эмульсионный (сото­вый); ж – пленочный.

 

Основная задача, возникающая при гидравлическом расчете трубопроводов, транспортирующих газожидкостную смесь, это определение перепадов давления.

Основное расчетное уравнение для "рельефных" (не горизон­тальных) нефтепроводов упрощенном виде записывается так:

 

, (2.21)

 

где – перепад давления, обусловленный весом столба газожидкостной смеси, а для горизонтального трубопровода форму­ла (2.19) запишется следующим образом

 

. (2.22)

 

Перепад давления, обусловленный гидравлическим сопротив­лением газожидкостного потока, определяется по формуле, подобной формуле Дарси-Вейсбаха (2.3):

 

, (2.23)

 

где – коэффициент гидравлического сопротивления, находится следующим образом:

при Re_см<2300

 

; (2.24)

 

при Re>2300

 

. (2.25)

 

Число Рейнольдса для смеси определяется как

 

. (2.26)

 

Кинематическая вязкость двухфазного потока определя­ется по формуле Манна:

 

, (2.27)

 

где – расходное объемное газосодержание двухфазною потока, определяемое по формуле

 

, (2.28)

 

где V_г и Q_ж – соответственно объемные расходы газа и жидкости при средних давлении и температуре в трубопроводе.

Плотность газожидкостной смеси , входящая в формулу (2.23), определяется из выражения

 

(2.29)

 

где и – плотность жидкости и газа при средних давлении и температуре смеси в трубопроводе; – истинное газосодержание определяется как отношение мгновенной площади сечения потока, занятого газовой фазой F_г, к полному поперечному сече­нию потока F, т. е.

 

. (2.30)

 

Истинное газосодержание двухфазного потока – сложная функция, зависящая от физических свойств жидкости и газа, ди­аметра и наклона трубопровода, расхода жидкости и газа. За­кономерности изменения истинного газосодержания в зависимос­ти от указанных параметров устанавливаются только опытным путем при помощи мгновенных отсечек потока или просвечива­нием труб гамма-лучами.

Доля сечения потока, занятая жидкой фазой, соответственно составит

 

. (2.31)

 

В (2.23) входит средняя скорость газожидкостной смеси, кото­рая определяется из выражения

 

. (2.32)

 

Общий перепад давления в "рельефном" трубопроводе (в Па), обусловленный гравитационными силами (геодезическими отметками) и силами трения смеси, определяется из уравнения (2.21)

 

, (2.33)

 

где z_п и z_сп – высоты отдельных восходящих (подъемов) и нис­ходящих (спусков) участков трубопровода, м; и – истин­ная плотность смеси соответственно на восходящих и нисходя­щих участках, определяемая по истинному объемному газосо­держанию:

 

. (2.34)

 

При восходящем потоке

 

; (2.35)

при нисходящем потоке

 

. (2.36)

После подстановки в уравнение (2.33) выражения (2.23) полу­чим общий перепад

 

. (2.37)

 

Данное выражение является основным расчетным уравнением при проектировании нефтепроводов, работающих при неполном заполнении сечения трубы нефтью.

 

2.4 Основные понятия о реологических свойствах нефти и расчет трубопроводов, транспортирующих неньютоновские жидкости

Разрабатывается много месторождений с парафинистой нефтью, движение которой по трубам не подчиняется известным законам гидравлики. Транспортировка таких нефтей по трубопроводам имеет свою специфику и связана с большими трудностями. Если вязкость парафинистой нефти значительно возрастает из-за понижения температуры, то существенно осложняется пуск нефтепровода после его остановки, а при перекачке парафинистых нефтей мо­жет произойти "замораживание" нефтепровода до полного прек­ращения подачи.

При перекачке высоковязких нефтей возни­кает необходимость увеличения мощности перекачивающих агре­гатов, использования путевых подогревателей, или увеличения диаметра нефтепро­вода или использования различных реагентов.

Для улучшения прокачиваемости парафинистых нефтей с высокой температурой застывания применяют растворители (керосин, углеводородный конденсат, а также депрессорные присадки или депресаторы, введение которых суще­ственно улучшает реологические свойства нефти.

Характерной особенностью парафинистой нефти является за­висимость изменения вязкости от перепада давления (или, что одно и то же, от напряжения сдвига ) и от изменения гра­диента скорости в трубе dv/dr.

Под реологическими свойствами нефти понимается зави­симость вязкости нефти от изменения градиента скорости в трубе dv/dr и напряжения сдвига (рис.2.6, в).

Согласно закону Ньютона о вязкостном трении при движении жидкости в круглой трубе, уравнение касательного напряжения записывается в виде:

 

, (2.38)

где – касательное напряжение сдвига (Па) между двумя сло­ями жидкости или между жидкостью и телом, заштрихованным на рис. 2.6, а; F – сила, Н; S – площадь соприкосновения между двумя слоями жидкости, м²; – коэффициент пропорционально­сти, называемый коэффициентом динамической вязкости. Па^.с; dv/dr – градиент скорости между слоями жидкости, 1/с; r – рас­стояние от оси трубы, м.

Рис. 2.6 Движение ньютоновских и неньютоновских жидкостей по трубам: а – модель течения жидкости; б – распределение напряжений и скоростей в структурном потоке; в – зависимость напряжений сдвига от градиента скорости для ньютоновских 1 и неньютоновских 2, 3 жидкостей

 

Формулу (2.38) можно представить в виде:

 

.

 

Зависимость имеет вид прямой, выходящей из начала коор­динат (рис. 2.6,в, поз. 1), тангенс угла которой к оси ординат является постоянной величиной и характеризует абсолютную вяз­кость нефти. Жидкости, вязкость которых изменяется по прямолинейному закону ( =const) в зависимости от напряжения сдвига и гради­ента скорости dv/dr , называются ньютоновскими.

Жидкости, вязкость которых изменяется в зависимости от напряжения сдвига и градиента скорости ( const), назы­ваются неньютоновскими (кривые 2 и 3 на рис.2.6,в). Кривые этого типа обычно можно снять при температуре засты­вания нефти.

Вязкость неньютоновских жидкостей определяется по уравне­нию Шведова-Бингема:

 

(2.39)

 

или

 

,

 

где – минимальное касательное напряжение, превышение ко­торого вызывает текучесть ядра неньютоновской жидкости, Па; – кажущаяся вязкость неньютоновской жидкости, т. е. вяз­кость, зависящая от градиента скорости dv/dr, Па^.с.

Рассмотрим течение в трубе заштрихованного объема жидкости (рис. 2.6, a) длиной l и диаметром D при приложении внешней силы F. Давление на концах трубопровода пусть будет p₁ и р₂.

Внешняя сила F нарушит условия равновесия сил давления и силы трения , возникающей на внутренней поверхности трубы при движении жидкости, если

 

F>F_тр

 

или

 

. (2.40)

 

Сокращая, получим

 

. (2.41)

 

Предельному равновесию, т.е. такому состоянию, когда неньютоновская жидкость только начнет двигаться, будет соответствовать условие

 

. (2.42)

 

Таким образом, если

 

, (2.43)

 

то жидкость в трубопроводе будет двигаться, и в зависимости от приложенной разности давлений могут образоваться три различных режима ее движения: структурный, ламинарный или турбулентный.

Под структурным режимом понимается такой режим, когда движение всего потока "жидкости" условно принимается за движение твердого тела с одинаковой скоростью по всему поперечному сечению. По мере увеличения перепада давления возрастает скорость движения жидкости, и в ближайших к стенке трубы частях потока развивается ламинарный режим, в то время как в централь­ной его части (ядро) жидкость по-прежнему продолжает двигаться как твердое тело (см. рис.2.6, б), т. е. имеет место как бы ламинарно-структурный режим.

Теперь установим закон распределения скоростей в поперечном сечении трубы при ламинарно-структурном режиме. Будем исходить из общего уравне­ния (2.39) для касательного напряжения в неньютоновской жидкости.

Для любого цилиндрического слоя жидкости радиусом (см. рис.2.6,б) r>r₀ касательное напряжение можно выразить аналогично формуле (2.42), т.е.

 

, (2.44)

где d – диаметр цилиндрического слоя жидкости, в котором напряжение сдви­га равно .

Подставив последнее значение в уравнение (2.39), получим

 

. (2.45)

 

Умножим обе части этого уравнения на dr:

 

.

 

Проинтегрировав данное выражение

 

,

 

получим

 

. (2.46)

 

Постоянная интегрирования С находится из условия: у стенок трубы при r=R, v=0, следовательно,

 

. (2.47)

 

Подставив (2.47) в (2.46) получим

 

. (2.48)

 

Кривая скоростей, соответствующая этой формуле, представлена на рис. 2.6, б. Она состоит из двух частей: параболических ветвей у стенок трубы, соответствующих ламинарному режиму течения, и прямолинейного участка в центральном ядре, соответствующего структурному режиму течения.

Для определения скорости движения центрального ядра в формуле (2.48) необходимо принять r = r₀. Тогда

 

. (2.49)

 

Расход жидкости при ламинарно-структурном режиме будет равен

 

,

 

где Q_л и Q_ц – соответственно расход в ламинарном кольце и в центральном ядре.

Последнее выражение можно представить как

 

, (2.50)

 

где v и v₀ – скорости жидкости, определяемые из выражений (2.48) и (2.49).

Подставив в выражение (2.50) формулы (2.48), (2.49) b проведя затем инте­грирование и некоторые упрощения, получим формулу Букингема:

 

. (2.51)

 

При больших перепадах давлений последним членом в этом уравнении можно пренебречь ввиду его малости, и тогда формула (2.51) принимает вид:

 

, (2.52)

 

где – наблюдаемый перепад давлений, определяемый по формуле (2.37); – перепад давления, соответствующий началу движения жидкости, опреде­ляемый по формуле (2.42).

Часто пользуются формулой Букингема следующего вида

 

. (2.53)

 

Так как касательные напряжения в трубе имеют линейный характер (см. рис. 2.6,б), то на поверхности ядра они равны

 

,

 

откуда

 

. (2.54)

Пример 3. Определить напряжение сдвига в плоскости ядра, находяще­гося на расстоянии r₀=25 мм от стенки трубы диаметром D = 100 мм при перекачке парафинистой нефти со средней скоростью, равной 0,1 м/с. Плотность нефти =900 кг/м³. Динамическая вязкость =100 сП (l сП=l^.10^-1 Па^.с).

Решение. Определим режим движения

 

– ламинарный.

 

Перепад давления на единицу длины трубопровода (в Па/м) определим по формуле (2.53), пренебрегая в ней членом, заключенным в квадратные скобки, ввиду его малости

 

или

.

Максимальное касательное напряжение (в Па), возникающее у стенки тру­бы, определится по формуле (2.42)

 

.

 

Касательное напряжение (в Па) на поверхности ядра определится по фор­муле (2.54)

 

.