Алгоритм решения задач по определению опорных реакций

Последовательность решения задач по определению опорных реакций заключается в выполнении следующих 5 этапов:

1.Изображение исходной схемы с заданными нагрузками.

2.Составление расчетной схемы. (3.выполняется по исходной схеме путем замены опор на возможные опорные реакции и изображением заданных нагрузок). Расчетная схема изображается под исходной схемой.

3.Запись системы уравнений равновесия и ее решение. Система уравнений равновесия в общем случае имеет следующий вид:

 

Σ(F_z)_i=0

Σ(F_y)_i=0

ΣM_i=0

 

Данная система содержит 2 уравнения в проекциях сил по осям и бесчисленное количество уравнений в моментах, так как произвольных точек на оси бруса бесконечно много. Так как всего неизвестных в рассматриваемых случаях – 3 (три силы – опорные реакции или две силы – опорные реакции и реактивный момент), то из этой системы всегда можно найти решение.

4.Нанесение найденного решения на расчетную схему. Если какое-то решение получено со знаком «минус», то на расчетной схеме направление соответствующего силового фактора необходимо изменить на противоположное.

На окончательной расчетной схеме все силовые факторы должны иметь положительные значения.

5.Проверка. В качестве проверочного уравнения используется любое уравнение из исходной системы, которое не участвовало при нахождении решения. Для подтверждения правильности решения необходимо, но не достаточно, чтобы проверочное уравнение после подстановки в него найденных при решении значений опорных реакций и заданных нагрузок обратилось в «0».

 

2.4. Примеры.

 

 

Пример 1. Определить опорные реакции для двухопорного бруса с нагрузками, изображенными на рис.1.7.

 

Рис.1.7

 

Выполним все 5 этапов решения задачи:

1. На рис.1.7 а изображена исходная схема.

2. Под исходной схемой изображаем расчетную схему, на которой вместо опор указаны возможные опорные реакции.

3. Запишем систему уравнений равновесия для расчетной схемы и найдем неизвестные опорные реакции:

Σ(F_z)_i = 0 Za = 0

ΣM_т.а=0 -30 кн ^. 1 м + 90 кнм + 20 кн ^. 6 м + Y_b ^. 5 м =0 Y_b =-36 кн

ΣM_т.b=0 30 кн ^. 4 м + 90 кнм + 20 кн ^. 1 м – Y_a^. 5 м =0 Y_a = 46 кн

4. Нанесем найденные значения на расчетную схему и изменим направление опорной реакции Y_b на противоположное, так как она получилась со знаком «-».

5. В качестве проверочного уравнения удобно использовать уравнение:

Σ(F_y)_i = 0 46 кн – 30 кн – 36 кн + 20 кн = 0

Действительно, проверочное уравнение при подстановке найденных значений опорных реакции обратилось в 0.

Ответ: Za = 0 Y_a = 46 кн Y_b = 36 кн,

Замечание: При решении данной задачи было использовано:

- правило знаков – момент, вращающий против часовой стрелки – положителен, по часовой стрелке – отрицателен.

- равномерно распределенную нагрузку заменили эквивалентной сосредоточенной силой приложенной в середине отрезка и равной интенсивности распределенной нагрузки, умноженной на длину, по которой действует распределенная нагрузка.

 

Пример 2. Определить опорные реакции для бруса, закрепленного в жесткой заделке.

 

Рис.1.8

 

Выполним все 5 этапов решения задачи:

1. На рис.1.8 а изображена исходная схема.

2. Под исходной схемой изображена расчетная схема, на которой вместо опор указаны возможные опорные реакции.

3. Запишем систему уравнений равновесия для расчетной схемы и найдем неизвестные опорные реакции:

Σ(F_z)_i = 0 Za = 0

Σ(F_y)_i = 0 Y_a – 20 кн + 50 кн = 0 Y_a = -30 кн

ΣM_т.а=0 M_a – 20 кн ^. 2 м + 50 кн ^. 3 м – 70 кнм = 0 M_a = - 40 кнм

4. Нанесем найденные значения на расчетную схему и изменим направление опорной реакции Y_a и M_a на противоположные, так как они получились со знаком «-».

5. В качестве проверочного уравнения будем использовать уравнение для суммы моментов относительно любой точки кроме a. Удобно взять точку, где приложена сосредоточенная сила, чтобы она не вошла в уравнение, например, точка С.

ΣM_т.С =0 - 40 кнм + 30 кн ^. 3 м + 20 кн ^. 1 м – 70 кнм = 0

Действительно, проверочное уравнение при подстановке найденных опорных реакций обратилось в 0.

Направления действия найденных опорных реакций указаны на рис.1.8.

Ответ: Za = 0 Y_a = 30 кн M_a = 40 кнм.

 

Лекция 3. Основные определения и понятия сопротивления материалов

3.1. Основные определения.

Сопротивление материалов как наука является разделом механики твердого деформируемого тела, в которую кроме того входят теория упругости, теории пластичности и ползучести, теория сооружений, строительная механика, механика разрушения и др.

Задачей сопротивления материалов является изучение методов расчета элементов конструкций и деталей машин на прочность, жесткость и устойчивость.

Прочность - это способность элементов конструкции сопротивляться воздействию приложенных к нему нагрузок, не разрушаясь.

Жесткость – это способность элементов конструкции сопротивляться воздействию приложенных к нему нагрузок, получая лишь малые упругие деформации.

Устойчивость – это способность элементов конструкции сохранять первоначальную форму равновесия под действием приложенных к нему нагрузок.

Реальные тела не являютсяабсолютно твердыми и под действием приложенных к ним нагрузок изменяют свою первоначальную форму и размеры, то есть деформируются. Деформации тела, исчезающие после снятия внешних сил, называются упругими, а не исчезающие – пластическими (остаточными) деформациями.

Определение размеров деталей или внешних нагрузок, при которых исключается возможность разрушения деталей является целью расчета на прочность, а исключение
появления недопустимых для нормальной работы конструкции деформаций - цель расчета на жесткость.

Рассмотрим виды тел, изучаемые в курсе сопротивления материалов.

Брусомназывается тело, два измерения которого малы по сравнению с третьим размером (рис 3.1)

 

 

Рис.3.1

 

Оболочкой называется тело, одно измерение которого мало по сравнению с двумя другими (рис.3.2).

 

 

Рис.3.2

Массивомназывается тело, все три измерения которого мало отличаются друг от друга (рис.3.3).

 

Рис.3.3