Нормальные напряжения при изгибе

Рассмотрим случай чистого изгиба в плоскости YZ, если внутренний изгибающий момент M_x постоянен, а поперечная сила Q_y тождественно равна нулю

Возможная исходная схема,расчетная схема и эпюры Q_y и M_x приведены на рис.9.1.

 

Рис.9.1

 

Изготовим брус из упругого материала по форме представляющий прямоугольный параллелепипед, нанесем на его фронтальную поверхность риски (координатную сетку с размерами ячейки b x c) и нагрузим его согласно приведенной схеме (рис.9.2).

 

Рис.9.2

 

Будем рассматривать только фронтальную поверхность (ближнюю к нам) в плоскости чертежа YZ. Еще раз изобразим эту поверхность «до» и «после» нагружения друг под другом (рис.9.3).

Рис.9.3

 

По результатам данного опыта можно сделать следующие выводы:

1. Линии/слои бруса, параллельные его оси (горизонтальные до нагружения), искривляются, сохраняя расстояние «с» между собой. Это свидетельствует о том, что нормальные напряжения вдоль оси Y ( в продольных сечениях) не возникают.

2. Линии/слои бруса, перпендикулярные его оси (вертикальные до нагружения), остаются плоскими и после нагружения, но поворачиваются по отношению к оси симметрии и друг относительно друга. Шаг ячейки «b» становится переменным.(выпо-лняется гипотеза «плоских сечений» - гипотеза Бернулли).

3. Верхние продольные волокна/слои бруса становятся короче, следовательно они сжимаются. Нижние продольные волокна/слои бруса становятся длиннее, т.е. они растягиваются. Таким образом вдоль оси Z (в поперечном сечении ) озникают нормальные напряжения σ_z.

4. В соответствии с гипотезой сплошности обязательно существует (между верхними и нижними волокнами) продольное волокно, которое не изменяет своих размеров, а только искривляется. Это волокно называется «нейтральным». Аналогично существует и «нейтральный» слой, следом которого на фронтальной поверхности и является нейтральное волокно.

5. Чем дальше от нейтрального волокна по оси Y расположено какое-либо волокно/слой, тем сильнее оно/он изменяет свои размеры, т.е. укорачивается или удлиняется.

Рассмотрим распределение в поперечном сечении нормальных продольных напряжений σ_z. Для этого применим метод сечений, отбросив правую часть, а в левой части бруса изобразим эпюру нормальных напряжений.

Очевидно, что на нейтральном волокне эти напряжения равны нулю, так как это волокно не изменяет своих размеров. Закрепим точку начала координат по оси Y на нейтральном волокне (рис.9.4).

По мере возрастания значения координаты Y вверх и вниз от нулевой точки значение нормальных напряжений будет возрастать по модулю. Наибольшего значения нормальные напряжения достигают на поверхности, где наблюдаются и набольшие удлинения волокон..

Можно показать, что изменение нормальных напряжений по высоте сечения носит линейный характер и определяется с помощью по формуле

:

σ_z = M_x y/I_x

 

где: M_x – внутренний изгибающий момент в рассматриваемом сечении;

I_x – момент инерции поперечного сечения относительно оси X (геометрическая характеристика поперечного сечения);

y – координата точки сечения (расстояние от нейтрального волокна до рассматриваемой точки)

 

 

Рис.9.4

 

Форма бруса, при которой верхние волокна укорачиваются (сжимаются), а нижние удлиняются (растягиваются) приводит к тому, что выше нейтрального волокна будет зона сжатия, а ниже - зона растяжения с соответствующими знаками на эпюре. Если форма бруса будет выпуклой вверх, то волокна, расположенные выше нейтрального слоя, будут растягиваться, а нижние - сжиматься. Соответственно и знаки на эпюре напряжений изменятся на противоположные.

Анализ закона изменения нормальных напряжений по высоте сечения позволяет сделать выводы:

1. Нормальные напряжения изменяются по линейному закону в зависимости от координаты y.

2. Нормальные напряжения равны нулю при y=0, т.е. на нейтральном волокне.

3. Нормальные напряжения достигают максимальных значений при значениях y=y_max, т.е. в поверхностных волокнах.

При y=y_max получим:

 

σ_z^max = M_x y_max/I_x

 

Известно, что I_x/y_max = W_x – момент сопротивления поперечного сечения относительно оси X (геометрическая характеристика поперечного сечения).

Окончательно получим выражение для вычисления максимальных значений нормальных напряжений (на поверхностных волокнах)

:

σ_z^max = M_x /W_x

 

В заключении отметим, что в любом другом сечении, параллельном плоскости YZ, распределение нормальных напряжений будет аналогично рассмотренному ранее, т.е. пространственная эпюра нормальный напряжений будет иметь вид, представленный на рис.9.5.

Рис.9.5