Изгиб в двух плоскостях с кручением

Этому виду нагружения подвергаются, как правило, стержни круглого поперечного сечения.

Рассмотрим стержень (рис.10.1), на который действуют сосредоточенная сила, параллельная оси y – Py, сосредоточенная сила, параллельная оси х – Px, крутящий момент относительно оси z – Mz.

 

Рис.10.1

 

Таким образом, данный стержень подвергается следующим простым видам нагружения:

- изгиб в плоскости YZ от действия силы P_y,которая вызывает изгиб стержня вокруг оси X (внутренний изгибающий момент от ее воздействия M_x).

- изгиб в плоскости XZ от действия силы P_x,которая вызывает изгиб стержня вокруг оси Y(внутренний изгибающий момент от ее воздействия M_{y_}.

- кручение относительно оси Z от действия момента Mк (который вызывает скручивание стержня вокруг оси Z (внутренний крутящий момент M_z).

Введем понятие эквивалентного момента M_экв, учитывающего «суммарное» действие всех рассматриваемых видов нагружения – изгиба в двух плоскостях и кручения:

M_экв = M_x «+» M_y «+» M_z

Основной проблемой является способ сложения простых видов нагружения. Различные способы вытекают из различных, так называемых теорий прочности, которые в свою очередь соответствуют тому или иному виду материалов (хрупкий или пластичный). В настоящее время наибольшее распространение получило соотношение следующего вида:

M_экв = √ α (M_x)² + β (M_y)² + γ (M_z)²

 

где: α,β,γ – весовые коэффициенты, с помощью которых можно учесть вклад конкретного вида нагружения в конечный результат. На весовые коэффициенты накладываются следующие соотношения: 0 ≤ α,β,γ ≤ 1.

Из курса сопротивления материалов известны III и IV теории прочности, применение которых дает следующие результаты:

 

III теория прочности: α=β=γ=1, M_экв = √ (M_x)² + (M_y)² + (M_z)²

 

Данная теория хорошо описывает поведение под нагрузкой пластичных материалов одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.

 

IV теория прочности: α=β= 1 γ=0,75, M_экв = √ (M_x)² + (M_y)² + 0,75 (M_z)²

Данная теория хорошо описывает поведение под нагрузкой вязких материалов, обладающих одинаковым сопротивлением при растяжении и сжатии.

 

Условие прочности для изгиба с кручением.

Типа задач на прочность.

Понятие эквивалентного момента, введенное ранее, приводит к понятию эквивалентного механического напряжения σ_экв, т.е. такого напряжения, которое «суммирует» все напряжения от изгиба и кручения.

Тогда естественно записать условие прочности в следующем виде:

 

σ_экв ≤ [σ],

 

где [σ] – допускаемое напряжение, т.е. напряжение, определяемое свойствами материала и схемой нагружения.

 

Можно показать, что для максимальных эквивалентных напряжений в случае совместного действия кручения и изгиба справедлива формула, аналогичная максимальным напряжениям при простом изгибе:

σ_экв^max = M_экв/0,1 D³

где D – диаметр вала в рассматриваемом сечении.

Тогда окончательно условие прочности для рассматриваемого случая сложного нагружения (кручение с изгибом) примет вид:

 

M_экв/0,1 D³≤[σ]

Из последнего соотношения вытекают формулировки 4 типов задач расчетов на прочность для сложного нагружения при одновременном действии кручения и изгиба.

Проверочный расчет.

Дано: Внешние нагрузки (M_экв); размеры поперечного сечения (D); допускаемое напряжение [σ]

Требуется: Проверить выполнимость формулы условия прочности.

Если приведенное соотношение выполняется, то говорят, что прочность бруса обеспечена, в противном случае - прочность не обеспечена.

В этом случае необходимо увеличивать D, либо уменьшать внешние нагрузки (M_экв) или использовать более прочные материалы (увеличить [σ]).

Проектный расчет.

Дано: Внешние нагрузки (M_экв); допускаемое напряжение [σ].

Требуется: Определить минимально возможные размеры поперечного сечения стержня.

Решение: Из формулы условия прочности следует: D≥³√ M_экв/0,1 [σ]