Классификация САУ и законы управления

Тема 1. Основные понятия и принципы управления

1.1 Основные термины и определения

 

В теории автоматического управления рассматриваются вопросы анализа и синтеза систем автоматического управления с заданными требованиями по качеству на основе методов и специального математического аппарата. Поэтому необходимо ознакомиться с основными терминами и определениями.

Система автоматического управления(САУ) – это совокупность технических средств для управления регулируемым параметром, в которой вычисление сигналов управления осуществляется регулятором или программируемым контроллером.

Объект управления(ОУ) – это установка, в которой протекающие физические процессы, управляются (регулируются) с помощью специальных технических средств.

Регулируемый параметр – это технологический параметр, значением которого управляют с помощью специальных технических средств.

Воздействия – внешние факторы, изменяющие течение технологического процесса в объекте управления. Различают возмущающие и управляющие воздействия.

Возмущающиевоздействия носят случайный характер. Например, изменение температуры окружающей среды, давления, скорости воздуха, колебания напряжения в электросети.

Управляющие воздействия на объект управления организуются техническим устройством в САУ для компенсации возмущающих воздействий.

Под сигналами понимают совокупность энергии или вещества, поступающего в объект управления, возмущающие и управляющие воздействия, а также регулируемые параметры. По направлению различают входные х и выходные у сигналы объекта управления (рисунок 1.1).

Так, возмущающие и управляющие воздействия будут входными сигналами для объекта управления; регулируемый же параметр всегда принимают за выходной сигнал, даже если он физически за пределы объекта не выходит (например, уровень жидкости в емкости, напряжение на обмотках электродвигателя).

На схемах (рисунок 1.1) функциональные элементы САУ обозначают прямоугольником, а сигналы – стрелками.

 

Рисунок 1.1 - Функциональный элемент САУ

 

Параметры физических процессов, определяющие сигналы, содержат информацию. Например, с помощью электрических сигналов в связи передаются звуки, а в телевидении изображения. Параметры, содержащие информацию, называются информационными. Так, сигналом является электрическое напряжение, информационным параметром – амплитуда этого сигнала.

Для примера рассмотрим технологический процесс регулирования температуры в электропечи для закаливания металла (рисунок 1.2).

Функциональной схемой называется символическое изображение элементов технологического процесса и связей между ними, отражающее последовательность процессов в системе.

Данная система предназначена для поддержания необходимого режима, т.е. изменения температуры х(t)в электропечи по заданному закону. Для обеспечения требуемого процесса электропечь снабжается: термопарой (датчик), с выхода которой получают электрическое напряжение у(t), пропорциональное температуре в электропечи, и реостатом, с помощью которого меняется сопротивление в цепи ее нагрева. Отклонение фактической температуры в электропечи от заданной не должно превышать допустимого значения ε(t). В системе имеет место так называемая обратная связь (ОС).

Сигнал х(t)заданной температуры в печи называют управляющим, сигнал у(t) фактической температуры – управляемой переменной, а систему, реализующую процесс закаливания, - системой автоматического управления (рисунок 1.3). САУ представляет собой совокупность объекта управления и управляющего устройства: регулятор, усилитель, электродвигатель, реостат, датчик и элемент сравнения. Объект управления - электропечь, а управляемая выходная переменная – температура. Управляющее устройство выполняет целенаправленно действия, приводящие к заданному изменению управляемой переменной - температуры закаливания. В зависимости от значения и знака сигнала рассогласования ε(t) регулятор посредством привода уменьшает или увеличивает сопротивление на реостате, тем самым поддерживая заданную температуру печи. Регулятор вырабатывает команды управления u(t).

Рисунок 1.2 - Функциональная схема системы процессом закаливания металла: 1- задающее устройство; 2 – сравнивающее устройство; 3 – регулятор; 4 – усилитель мощности; 5 – привод электродвигателя; 6 – реостат;

7 – электропечь; 8 – датчик

Данная САУ является замкнутой системой, в которой имеет место обратная связь (ОС), т.е. сравнение входного сигнала (эталона) с выходным (фактическим значением регулируемой величины).

Теория автоматического управления – это наука об анализе и синтезе автоматических систем с заданными требованиями по качеству на основе методов и специального математического аппарата.

 

Цели и принципы управления

Задача управления – изменять протекающие в объекте управления процессы посредством соответствующих команд для достижения поставленной цели.

Фундаментальными принципами управления являются:

- принцип разомкнутого управления;

- принцип компенсации – управление по возмущению;

- принцип обратной связи.

Таким образом, САУ – это система, стремящаяся сохранить в допустимых пределах рассогласование (ошибку) ε(t) между требуемыми х(t) и действительными у(t) значениями управляемых переменных с помощью их сравнения на основе принципа ОС и использования получаемых при этом сигналов управления.

Система, в которой входной сигнал х(t) – известная функция (детерминированный сигнал) на всем промежутке управления, называется системой программного управления.

Система, в которой задающий входной сигнал х(t) =const, называется системой стабилизации.

Система, в которой задающее входной сигнал x(t)– случайная функция, называется следящей системой.

Система, управляющая только одной выходной величиной, называются одномерной.

Одномерные системы могут быть системами программного управления, системами стабилизации и следящими системами.

Кроме того, на практике используются:

- системы с поиском экстремума показателя качества;

- системы оптимального управления;

- адаптивные системы.

 

Математические модели САУ

 

На первом этапе расчета и проектирования САУ ограничиваются их качественным описанием на основе анализа функциональных схем, т.е. неформальным описанием. Неформальным описанием называется совокупность сведений о САУ, достаточных для построения алгоритма ее работы, т.е. для построения функциональной схемы, служащей основой для разработки ее формального (математического) описания. Недостаток неформального описания САУ состоит в том, что в этом случае не оперируют количественными характеристиками и, таким образом не достигается необходимая точность. Под математической моделью САУ понимают количественную формазизацию абстрактных представлений об изучаемой системе.

Математическая модель – это формальное описание системы с помощью дифференциальных, интегральных, разностных, алгебраических уравнений, а также неравенств, множеств и т.д.

Пусть У и Х – множества входных и выходных сигналов САУ. Если каждому элементу у є У ставится в соответствие определенный элемент х є Х, то говорят, что задан системный оператор А, посредством которого задается связь между входом и выходом САУ:

у = Ах; (1.1)

Операторное уравнение (1) следует считать математическим уравнением САУ, поскольку оно устанавливает количественную связь между ее входным х(t) и выходным у(t) сигналами. Задать оператор системы - значит задать правило определения ее выходного сигнала по входному сигналу.

В большинстве случаев операторные уравнения систем принадлежат к классу дифференциальных уравнений или эквивалентных им интегральных уравнений. Для получения дифференциального уравнения системы в целом обычно описывают отдельные элементы, т.е. составляют дифференциальные уравнения для каждого входящего в систему элемента: элемента сравнения, регулятора, усилителя, привода, датчика и т.д. (рисунок 1.2).

 

Рисунок 1.3 - Структурная схема САУ по отклонению

 

САУ по возмущению – принцип Ж.Понселе, предложеннй им в 1830г. Если f возмущающее действие на объект, его измеряют и подают на регулятор для сравнения с заданным значением и выработки управляющего сигнала, изменяющего значение входного сигнала (рисунок 1.4).

Рисунок 1.4 - Структурная схема САУ по возмущению

При таком принципе управления изменение возмущающего воздействия компенсируется регулятором до того, как оно нарушит технологический режим работы объекта. Однако есть существенный недостаток – неспособность компенсировать влияние других возмущающих воздействий.

САУ по возмущению является разомкнутой, т.е. без обратной связи по выходному сигналу.

Комбинированные САУ совмещают оба закона управления и лишены многих недостатков рассмотренных схем (рисунок 1.5).

Рисунок 1.5 - Структурная схема комбинированной САУ

По закону изменения выходного сигнала задатчика различают САУ стабилизации, программные и следящие.

По закону изменения выходного сигнала регулятораразличают САУ дискретные (двух, трехпозиционные) и непрерывные (аналоговые).

Двухпозиционные (вкл. – выкл.) САУ надежны (холодильные установки), дешевы, но мала точность регулирования.

При рассмотрении САУ чаще используется укрупненная структурная схема (рисунке 4.2), на которой объект управления включает в себя регулирующий орган и датчик, а регулятор объединен с задатчиком и исполнительным механизмом.

В ТАУ жетско организованную через цепочку элементов связи выходного сигнала системы с входным, при которой отклонение выходного сигнала системы (т.е. объекта) вызывает ссответствующее изменение ее входного сигнала, называют обратной связью (ОС).

Различают о братную связь положительную и отрицательную.

Отрицательная обратная связь– это связь выходного системы с входным, при которой отклонение выходного сигнала одного знака вызывает изменение входного сигнала противоположного знака. Например, при увеличении температуры выше заданной требуется уменьшить подачу топлива.

Положительной обратной связью – это такая связь выходного сигнала системы с входным, при которой отклонение выходного сигнала одного знака вызывает изменение входного сигнала такого же знака.

В промышленных САУ регулятор всегда включен в отрицательную обратную связь. Положительная обратная связь используется в электронике для повышения коэффициента усиления схем. Синтез САУ сводится к выбору типа регулятора, которые реализуют пять основных законов регулирования.

 

Классификация регуляторов

 

Пропорциональный (П-регулятор) с одним параметром настройки. Его ПФ совпадает с ПФ пропорционального типового динамического звена:

где К – коэффициент усиления.

Коэффициенты, входящие в ПФ регуляторов, называются их параметры настройки. В конструкциях П-регуляторов коэффициент может изменяться в диапазоне от 0,1 до 40.

Интегральный (астатический),или И-регулятор с одним параметром настройки. Его ПФ совпадает с ПФ астатического (интегрирующего) ТДЗ:

где Т_и – время интегрирования.

В некоторых конструкциях И-регулятора параметр настройки Т_и может изменяться в диапазоне от 1 до 2000с.

Пропорционально-интегральный, или ПИ-регулятор с двумя параметрами настройки. Это один из наиболее часто используемых в промышленных САУ типов регуляторов. Его ПФ следующая:

Параметрами настройки регуляторов этого типа являются коэффициент усиления К и время интегрирования Т_и. ПФ включает в себя сумму его пропорциональной и интегральной составляющих, что соотвествует параллельно-согласованному соединению элементов, заложенному в структуре ПИ-регулятора. Следовательно, в случае отказа интегральной составляющей Пи-регулятор будет работать как П-регулятор, что повышает надежность его работы.

Пропорционально-дифференциальныйили ПД-регулятор с двумя

параметрами настройки. Его ПФ имеет вид

где Т_д – время дифференцирования.

В некоторых конструкциях ПД-регулятора параметр настройки Т_д изменяется в диапазоне от 1 до 200 с.

т.е. этот регулятор имеет три параметра настройки: К – коэффициент усиления, Т_и – время интегрирования, Т_д – время дифференцирования.

 

Рисунок 2.2 - Регулирование параметров объекта в системах с регуляторами различного типа.

 

Выбор типа регулятора или закона регулирования – трудная задача. Существуют ряд диаграмм и эмпирических формул, позволяющих по передаточной функции объекта определить необходимый тип регулятора и его оптимальные параметры настройки. Однако, на практике часто используются метод перебора: поочередно выбирают регулятор, проверяют на устойчивость и качество работы, и если полученные результаты неудовлетворительные, берут более сложный регулятор. Применение различных типов регуляторов проиллюстрировано на рисунке 2.3. Статический объект обладает свойством самовыравнивания, поэтому его регулируемый параметр без регулятора с течением времени по экспоненте приходит к постоянному значению. В САУ с П-регулятором имеется статическая ошибка, а в САУ с ПИД-регулятором (самым сложным и дорогим) – минимальные динамическая ошибка и время регулирования.

В реальных промышленных САУ соединение элементов между собой может быть довольно сложным. Однако любую сложную схему можно разбить на отдельные блоки с одним из трех типовых соединений: последовательным, параллельно-согласованным или параллельно-встречным.

 

Тема 4. АФЧХ и ЛАЧХ

Понятие об устойчивости

 

Под устойчивостью понимают способность системы само­стоятельно приходить к последующему установившемуся состоя­нию после приложения воздействия, которое вывело ее из состоя­ния равновесия. Исследование устойчивости является одной из основных задач в теории автоматического управления.

Замкнутая система в силу свойств, обусловленных наличи­ем обратной связи, склонна к неустойчивой работе. В процессе регулирования сигнал с выхода передается на вход группы звень­ев системы, среди которых могут быть колеба­тельные элементы. Приложение внешнего воздействия может привести к возмущенному состоянию системы, сопровождающе­муся колебаниями регулируемой (выходной) величины. Наличие главной обратной связи будет способствовать поддержанию коле­бательного процесса и при больших коэффициентах усиления, если параметры системы не обеспечивают необходимого затуха­ния энергии колебаний, может привести к неустой­чивой работе, характеризуемой неограниченным возрастанием амплитуды колебаний. В устойчивых системах энергия колебаний с течением времени уменьшается, колебания затухают.

Работа системы в переходном режиме описывается системой дифференциальных уравнений, на основании которых может быть написано одно-единственное дифференциальное уравнение. Его порядок определяется количеством и свойствами динамиче­ских звеньев.

Понятие «устойчивость» в смысле его математической трак­товки впервые в науку ввел русский ученый А.М.Ляпунов. Он дал строгую и законченную постановку задачи об устойчивости движения и методы ее решения. При исследовании устойчивости системы в общем случае приходится иметь дело с нелинейными зада­чами. Нелинейное дифференциальное уравнение, характеризую­щее возмущенное состояние системы, может быть разложено в ряд Тейлора и представлено в виде уравнения первого, второго или n-го приближения, содержащего величины первого, второго или n-го порядка малости. А.М.Ляпунов показал, что все случаи исследования устойчивости следует разделять на две категории: некритических (наиболее часто встречающихся) и критических случаев. Для категории некритических случаев справедливы две следующие теоремы.

Теорема первая. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрица­тельны, то система будет устойчивой независимо от членов разложения выше первого порядка малости.

Теорема вторая. Если среди корней характеристического уравнения первого приближения найдется по меньшей мере один с положительной вещественной частью, то система будет не­устойчивой независимо от членов разложения выше первого по­рядка малости.

Все критические случаи имеют место лишь тогда, когда среди корней характеристического уравнения первого приближе­ния имеется некоторая группа корней, вещественная часть кото­рых равна нулю, а остальная группа корней имеет отрицательную часть. В этом случае вопрос об устойчивости не может быть ре­шен на основании исследования уравнений первого приближения.

Поскольку уравнение первого приближения можно рас­сматривать как линеаризованное дифференциальное уравнение, то условия устойчивости А.М.Ляпунова справедливы и для ли­нейных систем. Пусть, например, система описывается линейным дифференциальным уравнением n-го порядка

 

(5.1)

Решение этого уравнения:

(5.2)

где р₁, р₂, …р_n – корни характеристического уравнения

(5.3)

Если система устойчива, то функция x(t) при t, стремящемся к бесконечности, будет приближаться к b/a0, что возможно лишь в том случае, если каждый из членов exp(p_it) будет стремиться к нулю. Для этого все корни р₁, р₂, …р_n должны иметь отрицательную вещественную часть. Корни характеристического уравнения можно представить в виде векторов, расположенных в комплексной плоскости (рисунок 5.1). Очевидно, что система будет устойчивой, если все кор­ни располагаются слева от мнимой оси.

 

Рисунок 5.1 – Распределение корней в комплексной плоскости

 

В случае, если один ве­щественный корень или пара комплексно-сопряженных корней располагаются на мнимой оси, система оказывается на границе устойчивости. Системы, у которых имеется одна пара мнимых корней, могут совершать незатухающие колебания (автоколеба­ния). Эти системы часто относят к неустойчивым, так как они практически неработоспособны. Линейные системы, характери­стические уравнения которых имеют один нулевой корень при всех остальных корнях, расположенных левее мнимой оси, назы­вают нейтрально-устойчивыми. Для того чтобы все корни оказа­лись в левой полуплоскости, можно воздействовать на коэффици­енты характеристического уравнения, которые, согласно теореме Виета, связаны с корнями непрерывными зависимостями.

При исследовании устойчивости системы возможно решение следующих задач:

- выяснение, является ли устойчивой система при заданных параметрах;

- определение допустимых изменений некоторых параметров (при неизменных остальных параметрах и заданной структуре) без нарушения устойчивости системы;

- анализ структуры системы и определение параметров, при которых она может стать устойчивой (анализ структурной устойчивости).

Первая задача может быть решена различными методами. Можно определить корни характеристического уравнения и по ним установить знаки их вещественных частей. Однако такой ме­тод может быть использован, когда порядок характеристического уравнения ниже третьего. Уже для кубического уравнения трудно определить корни, не говоря об уравнениях более высоких по­рядков. Кроме того, для определения устойчивости совершенно не обязательно знать значение корней характеристического уравне­ния. Достаточно убедиться только в отрицательности веществен­ных частей корней. Поэтому представляется целесообразным вос­пользоваться другими, более простыми методами определения устойчивости, основанными на установлении факта отрицатель­ности вещественных частей корней без нахождения их значения. Такие методы основываются на использовании критериев устой­чивости, например алгебраических критериев Рауса и Гурвица, частотных критериев Михайлова и Найквиста, а также условий устойчивости, определяемых логарифмическими частотными ха­рактеристиками.

Для решения второй задачи могут быть использованы мето­ды выделения областей устойчивости.

 

5 .2 Алгебраические критерии устойчивости

 

5.2.1 Критерий Рауса

 

Алгебраические критерии устойчивости позволяют устано­вить, устойчива система или нет, по результатам алгебраических действий над коэффициентами характеристического уравнения. Условия, устанавливающие факт отрицательности вещественных частей корней, и будут являться критериями устойчивости. Впер­вые подобный критерий был предложен английским математиком Э.Раусом в 1877 году в виде алгоритма.

Пусть дано характеристическое уравнение

а₀ рⁿ + a₁ p^n-1 +... + a_n-1 p + a_n =0. (5.4)

 

В первой строке таблицы Рауса записывают в порядке возрастания индексы коэффициентов характеристического уравнения (6.4), имеющие четный порядок: а₀ а₂ а₄ а₆ …

Во второй строке коэффициенты с нечетным порядком: а₁ а₃ а₅ а₇... Остальные строки состоят из элементов, определяемых по формуле

C_k,i = C_k+1,i-2 – r_i C_k+1,i-1 (5.5)

r_i = C₁,_i-2 / C_1,i-1 (5.6)

где k – номер столбца;

i – номер строки.

Число строк таблицы Рауса равно (n +1). Коэффициенты критерия Рауса сведены в таблицу 5.1.

Таблица 5.1 - Коэффициенты критерия Рауса

Коэффициент ri	ССтро- кка i	Столбец k
		C11 = a0	C21 = a2	C31 = a4
		C12 = a1	C22 = a3	C32 = a5
r3 = C11/C12 = a0/a1		C13 = C21 – r3C22	C23 = C31 – r3C32	C33 = C41 – r3C42
........	....	.......	........	........
Rn+1 = C1n /C1n+1	ni +1	C1n+1 = C2n-1 – rn+1 C2n	C2n+1 = C3n-1 – rn+1 C3n	C1n+1 = C4n-1 – rn+1 C4n

 

Критерий Рауса: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, т.е. при а₀>0 были положительными:

С₁₁ = а₀ >0; C₁₂ = a₁ >0; C₁₃ >0;..... C_1,n+1 >0 (5.7)

 

5.2.2 Критерий Гурвица

 

В 1895 году немецкий математик Гурвиц А. предложил следующий метод: из коэффициентов характеристического уравнения (5.4) сначала строят главный определитель

 

(5.8)

 

Глав­ный определитель составляется так, что по главной диагонали выписываются коэффициенты уравнения начиная с а₁ в возрас­тающем порядке до а_n. От каждого коэффициента главной диа­гонали по вертикали вверх выписываются коэффициенты с воз­растающими и вниз - с убывающими индексами. Места в матрице коэффициентов с индексами больше n и меньше 0 за­полняются нулями. Вещественные части корней будут отрицательными в том случае, если все коэффициенты уравнения и диагональные миноры главного определителя будут положительными.

Отчеркивая в главном определителе Гурвица диагональные миноры, получаем определители Гурвица низшего порядка:

Критерий Гурвица: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента а0 характеристического уравнения, т.е. при а ₀ >0 были положительными

(5.9)

Обычно критерий Гурвица применяется для систем с n ≤ 4, выше используется критерий Льенара – Шипара. В последнем столбце главного определителя (6.8) отличен от нуля только а_n, поэтому

Δ_n = a_n Δ_n-1. (5.10)

Поэтому для проверки устойчивости САУ достаточно найти Δ₁ – Δ_n-1. Если все определители Δ₁ – Δ_n-1 >0, а главный Δ_n = 0, то САУ находится на границе устойчивости. Это возможно только в двух случаях: a_n = 0 или Δ_n-1 >0. В первом (a_n = 0) САУ находится на границе апериодической устойчивости (один из корней s_i = 0); во втором (Δ_n-1 >0) на границе колебательной устойчивости (2 комплексно-сопряженных корня находятся на мнимой оси s_i = jωi; s_i+1 = -jωi).

Для систем, имеющих характеристические уравнения n ≥ 5 удобно применять одну из модификаций критерия Гурвица, предложенную в в 1914 году Льенаром П. и Шипаром Р.: для того чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

a₀ >0, a₁ >0,..........a_n >0 (5.11)

Δ₁ >0, Δ₃ >0, Δ₅ >0......... – нечетные определители

или

a₀ >0, a₁ >0,..........a_n >0 (5.12)

Δ₂ >0, Δ₄ >0, Δ₆ >0......... – четные определители

Очевидно, что этот критерий требует в два раза меньше раскрытий определителей, чем критерий Гурвица, поэтому особенно удобен при исследовании устойчивости САУ высшего порядка.

Рассмотрим выражение критерия Гурвица для некоторых уравнений.

Уравнение третьего порядка

a₀ р³ +а₁ р² +а₂ р + а₃ = 0.

Главный определитель

Условие Гурвица (а₁ а₂ –а₀ а₃) > 0, а₃ (а₁ а₂ – а₀ а₃) > 0, a_i > 0, i = 1, 2, 3.

Следовательно, система будет устойчивой, если все коэффи­циенты а₀,а₁,a₂,а₃ положительны и а₁a₂ – a₀a₃ >0, т.е. а₁a₂ > a₀a₃. Для уравнений третьего порядка при положительных коэффициентах а₀,а₁,a₂,а₃ и выполнения условия а₁a₂ > a₀a₃ называется критерием устойчивости Вышнеградского.

Уравнение четвертого порядка

а₀ р⁴ +a_l p³ +a₂ p² + а₃ р + а₄ = 0.

Главный определитель

Условия Гурвица

или

Δ₃ = а₃(а₁а₂ - а₀а₃) – а₁² а4 = а₃ Δ₂ – а₁² а4 >0.

Определитель Δ₃ может быть положительным лишь при ус­ловии Δ₂ > 0. Поэтому условие устойчивости для уравнения чет­вертого порядка может быть выражено соотношением

а₃ (а₁а₂ –a₃ a₀) – а₁² а4 > 0.

Уравнение пятого порядка

а₀р⁵ + а₁р⁴ +а₂р³ +а₃р² +а₄р + а₅ = 0.

Система, описываемая уравнением пятого порядка, устой­чива, если

Δ₃ = а₁(а₂а₃ – а₁а₄) – а₀а₃² >0.

Δ₄ = (a₃a₄ -а₂а₅)(а₁а₂ -а₀а₃)- (а₁а₄ -а₀а₅)² > 0.

Примеры:

D(s) = 12S⁴ + 2S² +4S + 50 = 0 - система неустойчива, т.к. а₁ = 0.

D(s) = 3S⁵ +10S⁴ + 5S³ - 7S² +S + 10 = 0 - система неустойчива, т.к. а₃ = -7<0.

D(s) = 2S³ + 6S² +10S + 15 = 0 - система устойчива, т.к. а₁a₂ > a₀a₃ или 6 ∙ 10>2 ∙ 15

 

Критерий Найквиста

 

Критерий Найквиста, основанный на использовании час­тотных характеристик, позволяет судить об устойчивости замк­нутой САУ по ее амплитудно-фазовой характеристике в разомк­нутом состоянии. Установим связь между п.ф. одноконтурной системы в замкнутом и разомкнутом состояниях. Рассмотрим функцию

(6.1)

где числитель представляет характеристический полином систе­мы в замкнутом состоянии, а знаменатель — характеристический полином разомкнутой по цепи главной обратной связи системы. Выражение

(6.2)

есть передаточная функция разомкнутой системы.

Так как порядок полинома D(p) для физически реализуе­мых систем не должен превышать порядок полинома G(p), то характеристическое уравнение замкнутой системы

G(p) + D(p) = 0 (6.3)

имеет столько же корней, сколько и характеристическое уравне­ние разомкнутой системы

G(p) = 0. (6.4)

При выводе критерия Найквиста будем исходить из того, что сис­тема устойчива как в замкнутом, так и в разомкнутом состоянии, т.е. вещественные части корней уравнений (6.3) и (6.4) отрица­тельны.

Заменив в уравнении (7.1) р на jω и разложив числитель и знаменатель на простейшие множители, получим уравнение ам­плитудно-фазовой характеристики замкнутой системы:

(6.5)

где р₁, р₂,..., р_m; s₁, s₂,..., s_m — соответственно корни уравнении (6.3) и (6.4).

 

Множители числителя и знаменателя правой части выра­жения (7.5) представляют векторы, располагаемые в комплексной плоскости слева от мнимой оси (рисунок 6.1, а). Начало каждого век­тора лежит в точке, соответствующей корню уравнения р_к, а ко­нец — на мнимой оси.

При изменении частоты ω от -∞ до +∞ каждый из векторов повернется на угол π. Числитель выражения (6.5) представляет вектор, модуль которого А равен произведению модулей пере­множаемых векторов, а аргумент φ_А — сумме аргументов тех же т векторов.

Поэтому при изменении ω от - ∞ до +∞ результирующий вектор D(jω) + G(jω) повернется на угол φ_А = mπ. Так как по условию корни G(p) = 0 лежат слева от мнимой оси, угол пово­рота φВ результирующего вектора, имеющего модуль В, при из­менении ω от - ∞ до +∞ также будет равен mπ. Нетрудно заклю­чить поэтому, что угол поворота вектора 1 + W(jω) при изменении ω от - ∞ до +∞ равен

φ_А - φ_В = mπ – mπ = 0. (6.6)

Рисунок 6.1 - Пояснения критерия Найквиста: а) расположение векторов р-pi в комплексной плоскости; б) АФХ разомкнутой системы

 

Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) разомкнутой системы получается путем замены р на jω в уравнении (6.2):

(6.7)

Она отображает границу области устойчивости. При ω→0 W(jω)→a_n/b_m, а при ω→∞ W(jω)→0, если порядок числителя меньше порядка знаменателя (n<m), и W(jω)→а₀/b₀ при равен­стве порядков числителя и знаменателя (n= m).

Амплитудно-фазовая характеристика при изменении ω от - ∞ до +∞ симметрична относительно оси абсцисс (рисунок 6.1, б). Если из точки с координатами (-1; j0) провести вектор, который своим концом касается амплитудно-фазовой характеристики, то полу­чим вектор 1 + W(jω), так как О₁А = ОА - (-1) = 1 + ОА = 1 + W(jω).

При изменении ω от - ∞ до +∞ конец вектора 1 + W(jω) бу­дет скользить по амплитудно-фазовой характеристике, а сам век­тор повернется на угол, результирующее значение которого равно нулю. Последнее возможно, если точка (-1;j0) лежит вне ампли­тудно-фазовой характеристики. Это условие согласуется с услови­ем (2.6), которое возможно лишь в случае, когда система устой­чива.

Первый критерий Найквиста: замкнутая система будет устойчивой в том случае, если устойчива ра­зомкнутая система и ее амплитудно-фазовая характеристика не охватывает точку (-1; j0).

Кривая (рисунок 6.1,б), представляющая частотную харак­теристику устойчивой системы, пересекается с осью абсцисс справа от точки (-1;jО) и называется амплитудно-фазовой ха­рактеристикой первого рода. Кривая (рисунок 7.2,а), пересекающая­ся с осью абсцисс и справа, и слева от точки (-1;jО), называется амплитудно-фазовой характеристикой второго рода. В этом случае система в замкнутом состоянии будет устойчивой при условии, если, разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов амплитудно-фазовой характеристики через ось абсцисс слева от точки (-1;jО) равна нулю.

 

 

Рисунок 6.2 - Исследование устойчивости по АФХ: а) АФХ второго рода; б) определение запаса устойчивости по модулю и фазе

 

При анализе устойчивости системы по амплитудно-фазовым характеристикам целесообразно ввести понятие запаса устойчивости по модулю и по фазе. Если через точку (-1;jО) (рисунок 7.2,б) провести окружность единичного радиуса, получим точку пересе­чения ее с амплитудно-фазовой характеристикой (точка А). Запас устойчивости по модулю характеризуется отрезком h, а запас ус­тойчивости по фазе — углом γ.

В общем случае, если степень полинома D(jω) в урав­нении (7.7) меньше степени полинома G(jω) и они не имеют об­щих корней с неотрицательной вещественной частью, критерий Найквиста формулируется следующим образом: САУ, неустойчивая в разомкнутом состоянии, является устойчивой в замкнутом состоянии, если разность между числам положительных и отрицательных переходов АФХ через ось абсцисс слева от точки (-1;j0) равна r/2. Сформулиро­ванный ранее критерий устойчивости Найквиста следует рассмат­ривать как частный случай общей задачи при r = 0 (r – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).

 

Критерий Михайлова

 

Критерий Михайлова дает возможность судить об устойчи­вости системы по годографу, описываемому концом характери­стического вектора замкнутой системы, который может быть по­лучен из уравнения (6.3):

М(р) = D(p) + G(p). (6.8)

Если заменить р на jω и изменять ω от 0 до ∞, то вектор своим концом опишет в комплексной плоскости кривую, назы­ваемую годографом Михайлова. Выражение (6.8) представляет полином m-го порядка, который может быть разложен (при р = jω) на множители по теореме Безу:

М(jω) = (jω – p₁)(jω – p₂)…(jω – р_m), (6.9)

где р₁, р₂, …,р_m – корни уравнения (6.3).

Уравнение (6.9) написано в предположении, что замкнутая система устойчива. Правая часть этого уравнения представляет произведение векторов, расположенных слева от мнимой оси в плоскости корней (рисунок 6.3,а). Так как векторы (jω – p_k), соответ­ствующие вещественным корням, совпадают с осью абсцисс, то при изменении ω от 0 до ∞ каждый из них повернется на угол π/2. Каждая же пара комплексно-сопряженных корней повернет­ся при этом на угол π. Действительно, вектор (jω – р₂) при изме­нении ω от 0 до ∞ повернется на угол α₁, а вектор (jω – р₃) на угол α₂. Так как ∟ABO = ∟BAO = α₂ (ΔOAB — равнобедренный), то результирующий угол поворота обоих векторов α₁ + α₂ = π.

Таким образом, вектор М(jω), представляющий произведение m векторов, аргументы которых при умножении складываются, по­вернется при этих условиях на угол m(π/2).

При ω=0 годограф Михайлова отсекает на вещественной оси в положительном направлении отрезок, равный свободному члену характеристического уравнения. Начало характеристиче­ского вектора совпадает с началом координат. Поэтому, если сис­тема устойчива, характеристический вектор при своем вращении нигде не должен обращат