Анализ устойчивости ЦС со звеном чистого запаздывания

 

Цифровую систему с управлением от микроконтроллера (МК) можно рассчитать на устойчивость 2-м способом: путем замены микроконтроллера звеном чистого запаздывания е^-τр.

На рисунке 9.6,а приведена структурная схема системы на базе микроконтроллера, а на рисунке 9.6,б с заменой звеном запаздывания с τ=0,01с и заданными параметрами.

Рисунок 9.6 – Структурная схема системы с управлением от МК

Для анализа устойчивости по критерию Найквиста с помощью ЛАЧХ и ФЧХ определим частоты сопряжения:

Логарифмический комплексный коэффициент передачи равен

ФЧХ с учетом τ = 0,01с системы равна

Рисунок 9.7 – ЛАЧХ и ЛФЧХ системы с МК

Из ЛАЧХ получена частота среза ω_ср = 400с^-1 и критическая частота ω_кр = 100с^-1. Угол наклона ФЧХ звена запаздывания при частоте среза φ_τ(400) = 400 ∙ 0,01 = 4 рад = 230^о.

Согласно критерия Найквиста ω_кр < ω_ср, следовательно, система неустойчива. При уменьшении времени запаздывания τ уменьшается шаг квантования и соответственно ошибка оцифрирования.

Таким образом, использование модели звена чистого запаздывания вместо микроконтроллера дает наименьшую ошибку в том случае, если время запаздывания значительно меньше частоты среза τ << ω_ср.

 

Анализ качества по переходному процессу

 

Построим переходный процесс (ПП) на выходе ЦС при подаче на вход ступенчатой функции. Для нахождения сходной решетчатой функции f[nT] по ее известному z- преобразованию f(z) применят один из трех методов:

- определение бесконечного ряда для f(z) по степеням z;

- разложение f(z) на элементарные дроби;

- исследование интеграла обратного преобразования.

Рассмотрим метод разложения в степенной ряд. Обратное z-преобразование функции F(z) может быть определено разложением в бесконечный ряд по степеням z

Из ранее полученного выражения получаем

(9.12)

Следовательно, коэффициенты ряда соответствуют значениям f(t) в моменты квантования.

Пример 3. Построить график ПП в системе при подаче ступенчатого входного сигнала, причем ПФ замкнутой системы равна

Рисунок 9.8 – Структурная схема ЦС

Для ступенчатого входного сигнала z-изображение имеет вид

Z-изображение выходного сигнала равно

Деление числителя на знаменатель дает для y(z) бесконечный степенной ряд

Y(z) =y(0) z⁰ +y(1T)z^-1 +y(2T)z^-2+ y(3T)z^-3+……..+y(nT)z^-n.

Сравнивая коэффициенты (10.12) и частного от деления для одинаковых степеней z, получим

у(0) = 0; у(Т) = 2; у(2Т) = 1; у(3Т) = 1,5; у(4Т) = 1,25.

В соответствии с полученными значениями y[nT] на рисунке 9.9 показан ПП в замкнутой системе.

Рисунок 9.9 –Переходный процесс в ЦС