Импульсная передаточная функция ЦС

 

Проанализируем случай, когда на вход линейной системы подается дискретный сигнал. ПФ для линейной разомкнутой системы (рисунок 8.4,а) при подаче непрерывного сигнала равна

Если теперь на вход этой же системы приложить квантованный сигнал (рисунок 8.4,б), то ПФ получается несколько иная.

Рисунок 8.4 – Линейная система с непрерывным и дискретным входными сигналами

Выходной сигнал y(t) является непрерывным ввиду фильтрующих свойств звена W(p). Для удобства выделения выходного сигнала импульсной системы в дискретные моменты времени, соответствующие моментам временем замыкания ключа, рассмотрим фиктивный выходной сигнал y*(t) после фиктивного ключа, работающего синхронно с S.

Предположим, что ко входу звена прикладывается единичный импульс в момент t=0 и нет формирователя импульсов. В этом случае входной и выходной сигналы можно представить в виде

(8.3)

Кроме того, выходной сигнал непрерывной системы можно описать импульсной переходной функцией g(t).

где g(t) – функция веса непрерывной части.

При подстановке t = nT, получим

(8.4)

Подставляя (8.4) в выражение (8.3), получим

Если ввести переменную m=n-l или n=m+l, то получим

Отсюда z-изображение весовой функции равно

(8.5)

Выражение (8.5) является импульсной ПФ линейной системы. При этом для выходного сигнала можно записать

. (8.6)

Следовательно, для определения дискретной ПФ при отсутствии формирователя импульсов процедура должна состоять в следующем:

- получить обычную ПФ непрерывного звена или системы;

- определить импульсную переходную функцию (функцию веса) g(t);

- определить решетчатую функцию весовой функции g[nT];

- путем суммирования ряда z-преобразования получить дискретную ПФ.

.

Пример 1. Определить дискретную ПФ звена, непрерывная ПФ которого равна

Определим функцию веса этого инерционного звена

Тогда ПФ в z-изображениях равна

.

Умножим обе части уравнения на величину и вычтем первое из второго. Вынося за скобки W(z), получим

 

Фиксатор нулевого порядка

 

В отличие от предыдущего случая последовательность импульсов после импульсного элемента преобразуется формирующим элементом в ступенчатые сигналы с амплитудой, изменяющейся в моменты nT, в зависимости от значений поступающих импульсов. Такой формирующий элемент называется фиксатором нулевого порядка. Он может быть применен для моделирования операции фиксации в устройстве выборки и хранения. В этом случае

(8.7)

Это выражение определяет импульсную переходную функцию фиксатора нулевого порядка, входной и выходной сигналы которого представлены на рисунке 8.5.

Рисунок 8.5 – Реакция фиксатора нулевого порядка на импульсное воздействие

Выходной сигнал фиксатора нулевого порядка является ступенчатой аппроксимацией непрерывного сигнала и увеличение частоты квантования приведет к увеличению точности. Сигнал на выходе фиксатора нулевого порядка может быть смоделирован 2-мя сигналами h(t) и h(t - T) (рисунок 8.5,б).

Реакция фиксатора нулевого порядка на импульсное воздействие описывается как

(8.8)

где h(t) – единичная ступенчатая функция.

Тогда ПФ фиксатора нулевого порядка из (8.8)

(8.9)

Тогда z-преобразование W(p) есть

(8.10)

Этот результат очевиден, т.к. фиксатор нулевого порядка в течение периода квантования удерживает постоянным дискретный сигнал. На практике за фиксатором нулевого порядка следует непрерывная часть системы (рисунок 8.6). Z-преобразование выходного сигнала системы в этом случае

где . (8.11)

Рисунок 8.6 – Система с фиксатором нулевого порядка

Подставляя ПФ (8.9) в (8.11), получим

(8.12)

Следовательно, определение ПФ разомкнутой дискретной системы с фиксатором нулевого порядка сводится к отысканию передаточной функции непрерывной части [W(p)/p], переходу от нее к z-изображению и умножению полученного результата на (1 - z^-1).

Пример 2. Найти ПФ дискретной разомкнутой системы с фиксатором нулевого порядка, если непрерывная часть W(p) = k/p.

Определяем переходную функцию непрерывной части

Определяем z-преобразование сигнала переходной функции h(z). Для линейно-возрастающего сигнала kt

Тогда в соответствии с (8.12)

Таблица 8.2 – Z-преобразование некоторых непрерывных звеньев

f(t)	W(p)	W(z)
1(t)
t
t^2
e^-at