Тема 6. Частотные критерии устойчивости

Критерий Найквиста

 

Критерий Найквиста, основанный на использовании час­тотных характеристик, позволяет судить об устойчивости замк­нутой САУ по ее амплитудно-фазовой характеристике в разомк­нутом состоянии. Установим связь между п.ф. одноконтурной системы в замкнутом и разомкнутом состояниях. Рассмотрим функцию

(6.1)

где числитель представляет характеристический полином систе­мы в замкнутом состоянии, а знаменатель — характеристический полином разомкнутой по цепи главной обратной связи системы. Выражение

(6.2)

есть передаточная функция разомкнутой системы.

Так как порядок полинома D(p) для физически реализуе­мых систем не должен превышать порядок полинома G(p), то характеристическое уравнение замкнутой системы

G(p) + D(p) = 0 (6.3)

имеет столько же корней, сколько и характеристическое уравне­ние разомкнутой системы

G(p) = 0. (6.4)

При выводе критерия Найквиста будем исходить из того, что сис­тема устойчива как в замкнутом, так и в разомкнутом состоянии, т.е. вещественные части корней уравнений (6.3) и (6.4) отрица­тельны.

Заменив в уравнении (7.1) р на jω и разложив числитель и знаменатель на простейшие множители, получим уравнение ам­плитудно-фазовой характеристики замкнутой системы:

(6.5)

где р₁, р₂,..., р_m; s₁, s₂,..., s_m — соответственно корни уравнении (6.3) и (6.4).

 

Множители числителя и знаменателя правой части выра­жения (7.5) представляют векторы, располагаемые в комплексной плоскости слева от мнимой оси (рисунок 6.1, а). Начало каждого век­тора лежит в точке, соответствующей корню уравнения р_к, а ко­нец — на мнимой оси.

При изменении частоты ω от -∞ до +∞ каждый из векторов повернется на угол π. Числитель выражения (6.5) представляет вектор, модуль которого А равен произведению модулей пере­множаемых векторов, а аргумент φ_А — сумме аргументов тех же т векторов.

Поэтому при изменении ω от - ∞ до +∞ результирующий вектор D(jω) + G(jω) повернется на угол φ_А = mπ. Так как по условию корни G(p) = 0 лежат слева от мнимой оси, угол пово­рота φВ результирующего вектора, имеющего модуль В, при из­менении ω от - ∞ до +∞ также будет равен mπ. Нетрудно заклю­чить поэтому, что угол поворота вектора 1 + W(jω) при изменении ω от - ∞ до +∞ равен

φ_А - φ_В = mπ – mπ = 0. (6.6)

Рисунок 6.1 - Пояснения критерия Найквиста: а) расположение векторов р-pi в комплексной плоскости; б) АФХ разомкнутой системы

 

Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) разомкнутой системы получается путем замены р на jω в уравнении (6.2):

(6.7)

Она отображает границу области устойчивости. При ω→0 W(jω)→a_n/b_m, а при ω→∞ W(jω)→0, если порядок числителя меньше порядка знаменателя (n<m), и W(jω)→а₀/b₀ при равен­стве порядков числителя и знаменателя (n= m).

Амплитудно-фазовая характеристика при изменении ω от - ∞ до +∞ симметрична относительно оси абсцисс (рисунок 6.1, б). Если из точки с координатами (-1; j0) провести вектор, который своим концом касается амплитудно-фазовой характеристики, то полу­чим вектор 1 + W(jω), так как О₁А = ОА - (-1) = 1 + ОА = 1 + W(jω).

При изменении ω от - ∞ до +∞ конец вектора 1 + W(jω) бу­дет скользить по амплитудно-фазовой характеристике, а сам век­тор повернется на угол, результирующее значение которого равно нулю. Последнее возможно, если точка (-1;j0) лежит вне ампли­тудно-фазовой характеристики. Это условие согласуется с услови­ем (2.6), которое возможно лишь в случае, когда система устой­чива.

Первый критерий Найквиста: замкнутая система будет устойчивой в том случае, если устойчива ра­зомкнутая система и ее амплитудно-фазовая характеристика не охватывает точку (-1; j0).

Кривая (рисунок 6.1,б), представляющая частотную харак­теристику устойчивой системы, пересекается с осью абсцисс справа от точки (-1;jО) и называется амплитудно-фазовой ха­рактеристикой первого рода. Кривая (рисунок 7.2,а), пересекающая­ся с осью абсцисс и справа, и слева от точки (-1;jО), называется амплитудно-фазовой характеристикой второго рода. В этом случае система в замкнутом состоянии будет устойчивой при условии, если, разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов амплитудно-фазовой характеристики через ось абсцисс слева от точки (-1;jО) равна нулю.

 

 

Рисунок 6.2 - Исследование устойчивости по АФХ: а) АФХ второго рода; б) определение запаса устойчивости по модулю и фазе

 

При анализе устойчивости системы по амплитудно-фазовым характеристикам целесообразно ввести понятие запаса устойчивости по модулю и по фазе. Если через точку (-1;jО) (рисунок 7.2,б) провести окружность единичного радиуса, получим точку пересе­чения ее с амплитудно-фазовой характеристикой (точка А). Запас устойчивости по модулю характеризуется отрезком h, а запас ус­тойчивости по фазе — углом γ.

В общем случае, если степень полинома D(jω) в урав­нении (7.7) меньше степени полинома G(jω) и они не имеют об­щих корней с неотрицательной вещественной частью, критерий Найквиста формулируется следующим образом: САУ, неустойчивая в разомкнутом состоянии, является устойчивой в замкнутом состоянии, если разность между числам положительных и отрицательных переходов АФХ через ось абсцисс слева от точки (-1;j0) равна r/2. Сформулиро­ванный ранее критерий устойчивости Найквиста следует рассмат­ривать как частный случай общей задачи при r = 0 (r – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).

 

Критерий Михайлова

 

Критерий Михайлова дает возможность судить об устойчи­вости системы по годографу, описываемому концом характери­стического вектора замкнутой системы, который может быть по­лучен из уравнения (6.3):

М(р) = D(p) + G(p). (6.8)

Если заменить р на jω и изменять ω от 0 до ∞, то вектор своим концом опишет в комплексной плоскости кривую, назы­ваемую годографом Михайлова. Выражение (6.8) представляет полином m-го порядка, который может быть разложен (при р = jω) на множители по теореме Безу:

М(jω) = (jω – p₁)(jω – p₂)…(jω – р_m), (6.9)

где р₁, р₂, …,р_m – корни уравнения (6.3).

Уравнение (6.9) написано в предположении, что замкнутая система устойчива. Правая часть этого уравнения представляет произведение векторов, расположенных слева от мнимой оси в плоскости корней (рисунок 6.3,а). Так как векторы (jω – p_k), соответ­ствующие вещественным корням, совпадают с осью абсцисс, то при изменении ω от 0 до ∞ каждый из них повернется на угол π/2. Каждая же пара комплексно-сопряженных корней повернет­ся при этом на угол π. Действительно, вектор (jω – р₂) при изме­нении ω от 0 до ∞ повернется на угол α₁, а вектор (jω – р₃) на угол α₂. Так как ∟ABO = ∟BAO = α₂ (ΔOAB — равнобедренный), то результирующий угол поворота обоих векторов α₁ + α₂ = π.

Таким образом, вектор М(jω), представляющий произведение m векторов, аргументы которых при умножении складываются, по­вернется при этих условиях на угол m(π/2).

При ω=0 годограф Михайлова отсекает на вещественной оси в положительном направлении отрезок, равный свободному члену характеристического уравнения. Начало характеристиче­ского вектора совпадает с началом координат. Поэтому, если сис­тема устойчива, характеристический вектор при своем вращении нигде не должен обращаться в нуль.

Критерий Михайлова формулируется следующим образом: замкнутая система устойчива в том случае, если вектор кривой Михайлова при изменении ω от 0 до ∞ проходит в положительном направлении m квадрантов комплексной плоскости, начиная свое движение от положительной вещественной полу­оси, и при этом нигде не обращается в нуль (m – порядок характеристического уравнения замкнутой системы).

Рисунок.6.3 – Исследование устойчивости по Михайлову: а) график к доказательству критерия Михайлова; б) годограф Михайлова

 

На рисунке 6.3,б приведены годографы Михайлова для устой­чивых замкнутых систем, описываемых уравнениями различных порядков (m = 1, 2, 4, 5). Система будет неустойчивой в слу­чае, если полином M(jω), определяемый уравнением (7.9), имеет корни с положительной вещественной частью. Число этих корней r можно определить по виду годографа. Если полный угол поворота вектора M(ω) равен (m – 2r)(π/2), то число правых корней равно r.

Значение частот ω_i, при которых кривая Михайлова пересекает вещественные и мнимые полуоси комплексной плоскости, находят из уравнений:

Х(ω) = 0 (6.10)

У(ω) = 0 (6.11)

Вещественную Х(ω) и мнимую У(ω) части функции Михайлова М(ω) можно представить графически (рисунок 6.4).

 

 

Рисунок 6.4 – АФХ замкнутой САУ: а) устойчивая; б) неустойчивая

 

В соответствии с критерием Михайлова для устойчивой САУ будет обязательно выполняться условия (рисунок 6.4,а):

ω₀ < ω₁ < ω₂ < ω₃ <.....< ω_n (6.12)

Если корни ωi уравнений (6.10, 6.11) будут немонотонно возрастать, то САУ будет нестойчивой (рисунок 6.2,б).

Следствие критерия Михайлова: система будет устойчива, когда вещественная и мнимая части функции Михайлова приравненные к нулю, имеют все действительные и монотонно возрастающие корни, при чем общее число этих корней равно порядку характеристического уравнения n, и при ω = 0 Х(0)>0 и У(0) = 0.

Для уравнений до шестого порядка включительно можно легко определить устойчивость, не вычерчивая кривую Михайлова, а определяя только чередование знаков Х(ω) при подстановке корней с возрастанием ωi, найденных из уравнения (6.11) У(ω) = 0.