Пересчет и перенесение результатов экспериментов

С модели на реальный объект

 

Из рассмотренного выше известно, что условием подобия является равенство функциональных зависимостей физической величины от определяющих параметров, в числе которых могут быть безразмерные комплексы. Для подобных объектов должно выполняться равенство

П = П , . (1.28)

Равенство комбинаций безразмерных комплексов, составляющих систему безразмерных величин и определяющих все остальные, для реального объекта и для модели называется критерием подобия.

Следовательно, с учетом выражений (1.28) и (1.25) получаем равенство безразмерной определяемой величины для модели и для реального объекта

П^(м) =П^(р). (1.29)

Таким образом, основываясь на равенстве (1.29) с учетом размерных переменных а ₁, a ₂, ..., a_k и формулы (1.22), получим правило пересчета результатов измерений с модели на реальный объект в виде

(1.30)

Выражение в скобках в правой части уравнения (1.30) представляет собой переходный масштаб. Для величин с независимыми размерностями а ₁, a ₂, ..., a_k переходные масштабы могут быть произвольными. Данные масштабы следует или задавать, или определять по условиям задачи. При проведении экспериментов переходный масштаб определяется их результатами. Для остальных размерных величин a_{k+ 1}, ..., a_n переходные масштабы находятся на основе условия равенства (1.28) с использованием формулы (1.23):

(1.31)

Полученные выводы составляют основы теории подобия. На практике одновременное выполнение всех условий равенства (1.28) бывает затруднено, поэтому следует считаться с возникновением погрешностей при пересчете результатов эксперимента для реального объекта, т.е. учитывать влияние на погрешность масштабного эффекта. Следует иметь в виду возможность слабого влияния на результат эксперимента отдельных безразмерных параметров. В этом случае прибегают к так называемому частичному, или локальному, моделированию, которое уступает по отражению свойств реального объекта полному моделированию.

Примеры применения теории размерностей

Пример 1.16. Колебания математического маятника.

Применим анализ размерностей для определения зависимости периода колебаний математического маятника от его длины.

Математический маятник (рис.1.3) представляет собой весомую материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити.

Нить верхним концом закреплена в неподвижной точке О. Требуется определить закон движения и, в частности, период малых колебаний маятника, отклоненного в начальный момент на угол j₀ и отпущенного из этого положения с нулевой угловой скоростью.

Введем обозначения: l – длина нити маятника, φ – угол между нитью и вертикалью, t – время, m – масса подвешенного на нити груза и N – сила натяжения нити. Груз будет находиться под действием двух сил: силы тяжести mg и силы натяжения нити N. Совместное действие этих двух сил заставляет груз описывать дугу окружности с центром в точке О. Если пренебречь сопротивлением груза о воздух и сопротивлением изгибу нити в точке О, то решение задачи о колебании маятника сводится к решению уравнений: уравнения ускорения изменения угла φнитью маятника

(1.32)

и уравнения равновесия центробежной силы и равнодействующей проекции силы тяжести груза на направление нити и силы натяжения нити

m l = N – mg cos φ. (1.33)

Начальное условие фиксирует положение отклоненного от вертикали на угол φ₀ маятника при t = 0 φ = φ₀ и = 0.

Из уравнений и начального условия очевидно, что в качестве определяющих параметров можно взять систему из пяти параметров: t, l, g, m, φ_0.

Закон движения и натяжение нити N будут функциями пяти аргументов:

где j и f – безразмерные функции. Ускорение силы тяжести g вводится в определяющие параметры, так как оно определяет сущность явления. Из анализа размерностей этих параметров (dim t = T, dim l= L, dim g = LT ^{– 2}, dim m = М,
dimj₀ = 1) следует, что среди них имеются три величины с независимыми размерностями, т.е. k = 3. Тогда согласно П-теореме можно составить n – k = 5 – 3 = 2 независимые безразмерные комбинации, которые можно представить в виде t и j₀. Все другие безразмерные комбинации будут функциями этих двух комбинаций. Итак, согласно П-теореме можно написать существенно сокращенные зависимости

; (1.34)

N = mgF , (1.35)

где Ф и F— безразмерные функции от безразмерных параметров. Выражение для j и для N показывает, что закон движения маятника (движение по дуге окружности) не зависит от массы груза, а натяжение нити прямо пропорционально массе груза. Формулы (1.34) и (1.35) выводятся также из уравнений (1.32) и (1.33).

Величина t может рассматриваться как время в такой системе единиц измерения, в которой длина нити маятника и ускорение силы тяжести приняты равными единице. Для окончательного определения функций Ф и F, зависящих уже только от двух безразмерных параметров, анализ размерностей не дает ничего определенного. Из опыта известно, что при малых колебаниях маятник совершает почти периодические колебания. В этом случае период колебаний Т будем находить из условия

(1.36)

т. е. за время Т маятник возвращается в начальное положение j₀. Разрешая уравнение (1.36) относительно параметра Т, получим

где Y ( j₀) – неизвестная функция. Далее из соображений симметрии (движение не зависит от правого или левого начального отклонения маятника на угол j₀) следует, что Y(j₀) = Y(– j₀), т. е. функция Y четная.

При малых значениях j₀ функцию Yможно разложить в ряд:

Здесь принято С ₂ = 0 вследствие четности функции Y. Для малых колебаний члены со степенями j₀² и выше можно опустить, и тогда для периода малых колебаний получим формулу (при Y(j₀) = С ₁):

T = C ₁ . (1.37)

Таким образом, для малых колебаний маятника с помощью анализа размерностей и приведенных выше дополнительных рассуждений формула для периода колебаний выводится с включением в нее постоянного множителя С ₁. Решение уравнения (1.32) приводит к значению С ₁ = 2p. Близкую к 2p величину можно получить экспериментально с использованием часов. Формула (1.37) справедлива для маятников любой длины l и в любом поле силы тяжести (например, на другой планете).

Пример 1.17. Применим анализ размерностей для доказательства теоремы Пифагора. Площадь прямоугольного треугольника S, как известно, определяется использованием его гипотенузы с и меньшего из его острых углов j (рис. 1.4), т.е. S = f (c, j), п = 2, k = 1, так как величина j является безразмерной.

Анализ размерностей дает

П = S/c ² =Ф( j ); S = c ² Ф( j ). (1.38)

Высота, опущенная из прямого угла, разбивает треугольник (см. рис.1.4.) на два прямоугольных треугольника, подобных основному, с гипотенузами, равными соответственно катетам основного треугольника. Выражение (1.38) для площадей этих треугольников дает:

S_a = a ² Ф (j); S_b =b ² Ф (j);

S= S_a+ S_b; c ² Ф (j )=a ² Ф (j) +b ² Ф (j).

Здесь, сокращая в последнем равенстве на Ф (j), получаем с ² = а² + b², что и требовалось доказать.

Пример 1.18. Истечение тяжелой жидкости через отверстие слива.

Из сосуда большого объема вытекает жидкость под напором h через отверстие слива, представляющем собой треугольный вырез в вертикальной стенке емкости (рис.1.5). Треугольный вырез располагается симметрично относительно вертикали, и его кромки образуют угол α = 90^º вершиной вниз.

Высота потока жидкости в вырезе равна напору жидкости h. Принятие условия рассмотрения сосуда большого объема необходимо для принятия характера движения жидкости в установившемся режиме без изменения в рассматриваемом промежутке времени уровня жидкости, который равен напору h. При вытекании жидкости основное значение имеют свойства инерции и весомости, которые характеризуются значениями плотности ρ и ускорения силы тяжести. Основными параметрами течения жидкости являются ρ, g и h. Вес жидкости Q, вытекающей через отверстие слива в единицу времени (расход жидкости), является функцией этих параметров. С помощью теории размерностей определяется вид этой функции. Размерность веса Q равна кгс/с (килограмм-сила в секунду). Такую же размерность имеет комбинация величин ρ, g и h – ρ g h ³ . Поэтому отношение

является безразмерной величиной и одновременно функцией величин ρ, g и h, из которых образовать безразмерный комплекс нельзя.

На основании изложенного материала можно записать следующее:

= C, или Q = C ρ , (1.39)

где С – абсолютная постоянная, которую можно определить из эксперимента.

Рассмотрение процесса вытекания жидкости можно расширить, представляя сливы в стенке с различными углами α. Тогда система определяющих параметров будет дополнена углом α, и формула (1.39) примет вид

Q = C (α)ρ .

Здесь коэффициент С будет зависеть еще и от угла α.

Слив может иметь вырез прямоугольной формы шириной b. Система определяющих параметров будет включать величины: ρ, g, h, b. Все безразмерные комплексы определяются отношением h/b. Формула (1.39) в этом случае заменится следующей:

 

Q = f ρ . (1.40)

Функцию f можно определить экспериментальным путем, исследуя вытекание жидкости через слив различной ширины b, но с постоянным h.

Определив таким образом функцию f , формулу (1.40) можно применять при b = const при различных значениях h, т.е. для различных напоров без экспериментов.

Рассмотренный пример показывает, что применение методов теории размерностей позволяет сокращать количество экспериментов и соответственно средства и время.

Методы исследования различных задач механики, физики, природных и экологических явлений, охраны окружающей среды, основанные на применении анализа размерностей и подобия, достаточно часто не связаны с особенностями отдельных частных случаев и доступны для использования в обобщенном виде. При применении анализа размерностей и подобия трудность состоит совсем не в использовании методики получения закономерностей физических явлений в наиболее простой и наглядной форме, а в схематизации явления с выделением основных (главных) определяющих параметров задачи, вытекающих или из математической постановки задачи, если таковая имеется в виде соответствующих дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями, или из детализации механизма изучаемого явления, если оно не сформулировано по каким-то причинам в виде математической задачи. Здесь важно не пропустить основные определяющие параметры и не усложнить задачу добавлением заведомо несущественных параметров.

Правильность выбора определяющих параметров в задаче, не имеющей явной математической формулировки, определяется, прежде всего, интуицией исследователя. Следует иметь в виду, что возможность уменьшения числа определяющих параметров в задаче снижает трудность ее решения.

Контрольные вопросы

1. Какие виды подобия существуют в естествознании?

2. Каким образом строятся системы физических величин?

3. На чем основываются измерения физических величин реального мира?

4. Что представляет собой единица физической величины?

5. Дать краткую характеристику применявшихся ранее и в настоящее время систем физических величин.

6. Что представляет собой обобщенная размерность?

7. Дать характеристику основных и производных физических величин.

8. Раскрыть основные понятия о размерных и безразмерных величинах.

9. Что представляет собой формула размерности.

10. Какие задачи выполняются с помощью теории размерностей?

11. Какую роль выполняет П-теорема при анализе размерностей?

12. Раскрыть существо П-теоремы в размерном анализе.

13. Что называют критерием физического подобия?

14. Что называют параметрами подобия объектов?

15. Применить анализ размерностей для доказательства теоремы Пифагора.

16. Каким образом результаты эксперимента переносят с модели на реальный объект?

17. Назвать виды моделирования объектов.

18. Что представляют собой безразмерные критерии подобия?

19. Какие методы используются для количественного определения физического подобия?

20. Привести пример применения методов теории размерностей.