Подобие объектов и процессов

Геометрическое подобие, хорошо известное из школьного курса геометрии, является наиболее простым случаем механического или физического подобия. Теоремы о подобии геометрических фигур основываются на равенстве соотношений соответствующих длин и равенстве углов при вершинах. Таким образом, для геометрического подобия фигур требуются определенные критерии подобия, например безразмерное соотношение длин и безразмерный масштаб. Простым умножением размеров одной геометрической фигуры на величину масштаба при сохранении углов при вершинах достигается получение другой, ей подобной фигуры.

Два явления физически подобны, если по заданным параметрам одного можно получить параметры другого простым пересчетом, который аналогичен переходу от одной системы единиц измерения к другой. В пересчете используются безразмерные численные характеристики, которые называются критериями подобия. Одним из важнейших значений П-теоремы является то, что с ее помощью удобно вводить безразмерные критерии подобия. Этими критериями могут быть любые из безразмерных комбинаций величин, характеризующих исследуемый процесс.

Если в такой комбинации изменять значения образующих ее величин, а саму комбинацию не изменять, то ее числовое значение останется неизменным даже при изменении размера основных единиц. Следовательно, при неизменности остальных величин исследуемая величина также остается неизменной. Например, в задаче о вытекании жидкости, рассмотренной выше, время вытекания является функцией размерного отношения h/g, безразмерного отношения S ₁ /S ₂ и безразмерной величины ρ (рассматривается идеальная жидкость, не обладающая вязкостью, что означает независимость времени вытекания от плотности). В качестве критерия подобия в данном случае следует считать отношение S ₁ /S ₂. При изменении S ₁и S ₂ в одинаковое число раз при неизменных h и g время вытекания не изменится.

Введение критериев подобия, как показала практика, особенно удобно в тех случаях, когда строгое решение задачи представляет большие математические трудности или сведения для полного описания процесса являются недостаточными.

Для количественного определения физического подобия используется анализ размерностей и метод использования П-теоремы.

Допустим, исследуется зависимость, представленная формулой (1.22), представляющая искомую величину а в зависимости от п определяющих параметров а ₁, a ₂, ..., a_n.

Используя анализ размерностей, можно записать функцию f в безразмерном виде:

П = Ф (П_k+1, ...,П _n). (1.25)

Число аргументов в формуле (1.25) меньше исходного числа п на столько, сколько среди величин а ₁, a ₂, ..., a_n имеется параметров с независимыми размерностями. Уменьшение числа параметров, как было отмечено выше, упрощает исследование.

Для физического подобия двух геометрических объектов необходимо и достаточно, чтобы они определялись одним и тем же набором определяющих параметров а ₁, a ₂, ..., a_n, численные значения которых могут отличаться в этих объектах, но так, что численные значения безразмерных параметров П_k+1 ,..., П _n в этих объектах совпадают. В связи с принятым определением подобных объектов параметры П_k+1,...,П _n называются параметрами подобия.

При подобии двух объектов (процессов, явлений), одно из которых называется реальным, а другое – модельным, исследуемая величина а должна иметь одинаковую функциональную зависимость от определяющих параметров . Таким образом, функция f для обоих объектов будет одна и та же, поскольку объекты подобны, хотя численные значения определяющих параметров и исследуемой физической величины а могут различаться. Для реального объекта зависимость (1.22) имеет такой вид:

для реального объекта

(1.26)

для модельного объекта

(1.27)

Здесь верхние индексы (r) и (м) относятся соответственно к реальному объекту и модели. Применяя П-теорему, обе зависимости (1.26) и (1.27) можем переписать в безразмерном виде (см. формулу (1.25)):

П^(р) =Ф ;

П^(м) =Ф .

Следует отметить, что здесь функция Ф для реального объекта и модели одна и та же, так как она в обоих случаях одинаково выражается через одну и ту же функцию f.