О методах теории подобия и системах единиц

Физических величин

В истории развития естествознания известны различные виды подобия: геометрическое, физическое, математическое, химическое, биологическое, психофизиологическое, кинематическое, динамическое и др. В теории и практике измерений физических величин непреходящее значение имеет подобие явлений, процессов, состава и свойств. Достаточно отметить значение анализа физического подобия для возникновения метода планирования эксперимента и проведения сложных научных исследований в авиастроении, гидро-, термо- и электродинамике, ядерной энергетике, космонавтике.

Современные представления о физическом подобии базируются на принципе независимости закономерностей явлений и процессов от конкретной системы измерительных мер. На достаточно коротком отрезке времени развития истории науки и техники использовались единицы (меры) физических величин (ФВ), входящих в такие системы мер, как СГС (основные единицы – сантиметр, грамм, секунда), МКГСС (основные единицы – метр, килограмм-сила, секунда), МТС (основные единицы: метр, тонна, секунда), МКСА (основные единицы – метр, килограмм, секунда, ампер). С 1960 г. действует единая Международная система единиц – СИ, в которой основными единицами физических величин являются метр, килограмм (масса), секунда, ампер, градус Кельвина, моль (количество вещества) и кандела.

Модель явления, процесса, свойств представляет собой в той или иной степени схематизацию реальной картины. В первую очередь принимаются во внимание существенные черты, признаки моделируемого объекта. Второстепенные признаки, подробности, оттенки объекта, как правило, опускаются. Да и практически учесть все многообразие качественных и количественных сторон объекта даже при использовании современных быстродействующих электронно-вычислительных машин не представляется возможным. Вследствие этого количественный анализ (измерения в том числе) всегда имеет дело не с реальным явлением, процессом, свойством, а с результатом более или менее высокого уровня схематизации.Физико-математическая модель физического процесса представляет собой математическое описание его динамических параметров и свойств среды во взаимной связи. Математическое описание может быть представлено в виде таблицы количественных показателей свойств среды, зависящих от ее динамических параметров или в виде системы уравнений, связывающих зависимые и независимые переменные. Единицы физических величин являются масштабами этих величин. Они воспроизводятся природными или искусственными эталонами. Между физическими величинами существуют зависимости (связи), которые выражаются математическими соотношениями, формулами или уравнениями. Эти зависимости не являются случайными, частными, но отражают широкий круг явлений и процессов. В данном случае говорят, что зависимости или закономерности имеют общий характер. Совокупность физических величин, связанных между собой зависимостями, называют системой величин. Физические величины, входящие в систему и условно принятые в качестве независимых от других величин системы, называют основными величинами системы. В построении системы физических величин основные величины являются первичными в отличие от производных величин, которые следует назвать вторичными. Выбор основных величин является произвольным. При построении различных систем были выбраны такие величины: длина, масса, время, сила, сила электрического тока, термодинамическая температура, количество вещества, сила света. Каждой основной величине присваивается символ в виде буквы латинского или греческого алфавита. Этот символ называется обобщенной размерностью основной физической величины. Например, для основных физических величин установлены следующие размерности: длина L, масса M, время T, сила тока I, термодинамическая температура Θ, количество вещества N, сила света J.

Системы физических величин строятся на совокупности нескольких основных величин и обозначаются совокупностью их символов, которые показывают размерность выбранной системы. Система величин механики основывается на физических величинах как длина, масса, время и имеет обозначение (размерность) LMT. Система величин механики обозначается LFT, если она основывается на основных величинах – длине, силе, времени. Объединенная система величин механики и электричества LMTI включает основные физические величины – длину, массу, время и силу тока. В качестве физической величины электричества могут быть использованы кроме силы тока электрический заряд, электрическое сопротивление, количество электричества и др. В данном случае наиболее удобной для использования оказалась сила тока. Система величин механики и теплотехники основывается на четырех основных величинах – длине, массе, времени, термодинамической температуре и обозначается LMTΘ.

Таким образом, систему физических величин составляет произвольно выбранная совокупность основных величин, на основе которых образуют другие необходимые для описания физических процессов величины, называемые производными. Для основных физических величин принимают меру (масштабный фактор) для оценки числового значения этой величины, которую называют единицей измерения физической величины. Единицы измерения производных величин получают на основе их зависимостей от основных величин в виде уравнений связи. Различают уравнения связи между физическими величинами вообще без учета единицы измерения и уравнения связи между их числовыми значениями. Уравнения связи между числовыми значениями величин могут иметь различный вид из-за выбора той или иной единицы измерения. В таких уравнениях нередко появляются коэффициенты пропорциональности, значения которых могут быть связаны с единицами измерений.

Сказанное можно пояснить следующим примером. Уравнение связи между длиной и площадью устанавливается из подобия фигур. Площади подобных фигур пропорциональны квадратам значений их сходственных линий. Площадь кругов, в частности, пропорциональна квадрату радиусов или диаметров. При соотнесении площадей подобных фигур имеют в виду уравнение связи величин: S ₁ /S ₂ = L ₁² /L ₂². Из этого выражения следует, что S ₁/ L ₁² = S ₂ / L ₂². То есть отношение значения площади фигуры к квадрату ее линейного размера является постоянной величиной. Обозначив ее буквой k, получим общее выражение для определения площади геометрической фигуры: S = kL², где k – коэффициент, зависящий от формы измеряемой фигуры и принятой единицы измерения. Линейный размер и площадь являются физическими величинами: линейный размер (длина, радиус, диаметр и др.) – основная физическая величина в системе LMT, площадь – производная. Поэтому единицу измерения площади можно определить на основе единицы измерения линейного размера. В системе СИ единицей измерения линейной величины (размера) принят метр, площади – квадратный метр. Поэтому производная единица измерения площади будет равна k м². Для квадрата, прямоугольника при использовании в качестве единицы измерения площади квадратного метра k = 1, а для круга k = π/4. Но в качестве единицы измерения площади принципиально мог бы быть принят круглый метр. В этом случае формулы для определения площадей геометрических фигур изменили бы свой вид, так как 1 м² равен 4/π круглого метра. Например, площади некоторых геометрических фигур определялись бы по формулам:

для равностороннего треугольника – S _кр = L ²;

для правильного шестиугольника – S _кр = L ².

Определение размерностей

 

Возникновение и использование различных систем физических величин ставят задачу перевода одних единиц этих величин в другие. Система физических величин включает также другие физические величины, определяемые через основные (первичные) с помощью формул или математических соотношений. Такие величины, как отмечалось выше, называются производными. Число основных величин может быть любым. Однако опыт проведения научно-исследовательских и вычислительных работ показал, что такое число целесообразно брать вполне определенным для выбранной системы. Например, в число основных величин механической системы лучше всего включать три, в систему тепловых основных величин – четыре, в систему основных величин молекулярной физики – пять величин, в систему основных величин для всех разделов физики – семь величин.

Изменение каждой из основных физических величин или ее единицы влечет изменение производной физической величины или соответственно ее единицы. Исследованием соотношений таких изменений занимался французский физик и математик Ж.Фурье (1768 – 1830). В своей монографии «Аналитическая теория тепла», вышедшей в 1822 г., он ввел термин «размерность». По его определению, если основная величина изменяется в n раз, а производная в n^p раз, то эта производная величина обладает размерностью p по отношению к соответствующей основной величине. Фурье впервые установил, что существуют определенные основные единицы измерения, относительно которых каждая физическая величина имеет определенные размерности, которые надо записывать как показатели степеней основных единиц измерения.

В системах единиц ФВ СИ (основных семь единиц) и СГС (основных три единицы) единицы длины, массы и времени являются основными. Поэтому если производная величина Х изменяется пропорционально L ^P (длине в степени Р ), пропорционально M ^q (массе в степени q), пропорционально T ^r (времени в степени r), то величина Х обладает размерностью Р относительно длины (единицы длины), размерностью q относительно массы (единицы массы), размерностью r относительно времени (единицы времени). С использованием символов это запишется в виде

[ X ] = dim X = L^PM ^q T ^r,

где квадратные скобки, в которые заключен символ величины Х, означают, что речь идет о размерности единицы производной величины Х относительно единиц длины, массы, времени. Символы L, M и T представляют собой обобщенные величины (или обобщенные единицы величин). Наряду с применением квадратных скобок употребляют обозначение dim X (dimension – размер, размерность).

Анализ размерностей широко использовался и используется в разных областях науки. Идеи, лежащие в основе анализа размерностей, достаточно просты и покоятся на физических законах (связях между физическими величинами), они не зависят от выбранной системы основных единиц измерения. Из этой идеи на основе логических рассуждений и применения простого математического аппарата следует важное следствие: функции, выражающие физические закономерности, должны обладать некоторым фундаментальным свойством, которое в математике называется обобщенной однородностью, или симметрией. Это свойство позволяет записать искомые закономерности в безразмерном виде, инвариантном относительно выбора систем единиц измерения, с меньшим числом аргументов (уже безразмерных) и тем самым упростить нахождение закономерностей.