Уравнение Лапласа. Гармонические функции. Фундаментальное решение для уравнения Лапласа.

Гармонические функции. Для простоты изложения ограничимся трехмерным евклидовым пространством с декартовой системой координат . В пространстве рассмотрим простейшее эллиптическое уравнение – уравнение Лапласа: . (1)

В плоском случае имеем уравнение .(2):

Выделим ограниченную связную область . Пусть граница области представляет собой поверхность без самопересечений, .

Опр1. Функция называется гармонической в области , если и удовлетворяет уравнению Лапласа (4.1) в области .

 

Рассмотрим аналитическую функцию , . Запишем комплексное число в виде , где , , тогда .

Получим частные решения уравнения (2):

, .

Умножив на числовой множитель , получим решение

, (3)

которое называется фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости .

Заметим, что функция (3) удовлетворяет уравнению (2) во всех точках плоскости за исключением точки

В случае трехмерного пространства для уравнения Лапласа (1) решение вида , (4)

где - координаты фиксированной точки , называется фундаментальным решением уравнения Лапласа в .

Для проверки вычислим производные

, ,

, где .

После подстановки в уравнение (1) получим тождество. Заметим, что функция (4) удовлетворяет уравнению (1) во всех точках пространства за исключением точки .

 

1. Предмет дифференциальных уравнений с частными производными. Историческое развитие исследований уравнений с частными производными, их использование в методах математического моделирования реальности. Современное состояние науки.

2. Основные понятия об уравнениях с частными производными. Классические решения простейших уравнений с частными производными. Общее решение гиперболических уравнений второго порядка с двумя переменными.

3. Классификация уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Системы уравнений с частными производными.

4. Замена независимых переменных в уравнениях второго порядка. Уравнение характеристик.

5. Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

6. Классификация уравнений второго порядка со многими независимыми переменными.

7. Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Исключение младших производных в уравнениях.

8. Постановка задачи Коши. Теорема Коши-Ковалевской.

9. Метод характеристик. Формула Даламбера для решения задачи Коши для уравнения колебаний струны.

10. Корректно поставленные задачи. Корректность задачи Коши для уравнения колебаний струны. Пример Адамара некорректно поставленной задачи Коши.

11. Метод интегральных преобразований для решения задачи Коши для параболических уравнений.

12. Принцип максимума и минимума для уравнения теплопроводности, следствия. Корректность задачи Коши для уравнения теплопроводности.

13. Пространство основных функций. Обобщенные функции и их свойства.

14. Сингулярные обобщенные функции, дельта-функция Дирака. Обобщенная производная, обобщенные решения уравнений с частными производными.

15. Фундаментальное решение уравнений. Фундаментальное решение и решение задачи Коши для уравнения Колмогорова.

16. Постановка смешанных задач для уравнения колебаний струны. Граничные условия первого, второго и третьего рода, физическая интерпретация.

17. Задача Шт - Л для ОДУ второго порядка. Свойства собственных функций и собственных значений задачи Ш - Л.

18. Метод разделения переменных при решении смешанных задач для уравнения колебаний струны. Решение первой смешанной задачи, обоснование решения.

19. Постановка смешанных задач для уравнения теплопроводности, физическая интерпретация.

20. Решение смешанных задач для уравнения теплопроводности методом разделения переменных. Решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности в стержне, обоснование решения. Корректность первой смешанной задачи.

21. Уравнение Лапласа. Гармонические функции. Фундаментальное решение для уравнения Лапласа.

22. Формулы Грина для оператора Лапласа. Интегральная формула Грина для гармонических функций.

23. Свойства гармонических функций. Принцип максимума и минимума для гармонических функций, следствия.

24. Краевые задачи Дирихле, Неймана и третьего рода для эллиптических уравнений. Спектральная задача для оператора Лапласа. Корректность внутренних и внешних краевых задач для уравнения Лапласа и Пуассона.

25. Метод разделения переменных для решения задачи Дирихле в круге. Интеграл Пуассона.

26. Динамические модели денежных накоплений семьи с использованием стохастических дифференциальных уравнений.

27. Одномерные марковские стохастические процессы в моделировании случайных денежных накоплений. Условная плотность вероятностей стохастического процесса и ее свойства.

28. Параболические уравнения Колмогорова. Вывод параболического уравнения денежных накоплений ансамбля семей.

29. Постановка задач для уравнения денежных накоплений, смешанные задачи с нелокальными граничными условиями.

30. Решение задачи Коши для уравнения денежных накоплений. Стохастические дифференциальные уравнения в форме Ито.

31. Связь задачи Коши для стохастического уравнения с задачей Коши для уравнения Колмогорова.

32. Замена переменных в уравнениях Колмогорова. Формула дифференцирования Ито.

33. Моделирование динамики стоимости ценных бумаг с помощью стохастических дифференциальных уравнений.

34. Уравнение для плотности распределения акций в пространстве цен и смешанная задача для него.

35. Уравнение Блэка - Шоулса, смешанная задача для функции стоимости опциона.