Классификация уравнений второго порядка со многими независимыми переменными.

Рассм. линейные ур-ния 2-го порядка n независимых переменных:

(19), где x= () точка обл-ти Ω , = (коэф. симметричны).

Опр. Выражение наз-ся главной частью ур-ния (19).

По главной части ур-ния(19) построим полином P(t;x):

P(t;x) = (21). Полином (21) наз-ся характерестическим полиномом ур-ния с частными производ. (19)(УЧП). Он представляет собой квадратичную форму с переменными коэф. Зафиксируем некот. точку тогда многочлен P(t; ) представляет собой квадратичную форму с постоянными коэф. Рассм. некоторую поверхность Г<Ω кот. задаётся ур-нием: где - дважды непрерывно-диф. на обл-ти ().

Опр. Поверхность Г заданная ур-нием(22) наз-ся характеристической поверхностью ур-ния(19), если во всех точках поверхности Г ф-ция удовлетворяет ур-нию: (23). Ур-ние (23) наз-ся ур-нием характеристик дляУЧП (19). Классификацию ур-ния (19) в т. осуществим с помощью квадратичной формы (21) в зависимости от того какой канонический вид имеет эта квадратичная форма.

Опр. Ур-ние(19) к эллиптическому типу в т. если в этой точке квадратич. форма(21) P(t; ) знакоопределённая, т.е при приведении её к сумме квадратов все коэф.равны либо 1, либо -1.

Опр. Ур-ние (19) наз-ся ур-нием гиперболического типа в т. , если в этой точке приведение квадратичной формы P(t; )к сумме квадратов даёт либо один полож. остальные отриц., либо один отриц. все остальные полож. коэф., нулевых нет.

Опр. Ур-ние (19) в т. принадлежит к ультрогиперболическому типу, если в т. после приведения квадратичной формы P(t; ) к сумме квадратов получаем более одного полож. или более одного отриц. коэф., нулевых нет.

Опр. Ур-ние (19) в т. принадлежит к параболическому типу если в этой точке приведение квадратичной формы P(t; ) к сумме квадратов даёт хотя бы один нулевой коэф., а ненулевые коэф. имеют одинаковые знаки.

Опр. Ур-ние (19) к эллиптическому типу (гиперболическому, ультрогиперболическому, параболическому) на обл-ти Ω если в каждой точке этой обл-ти оно к эллиптическому(гиперболическому, ультрогиперболическому, параболическому) типам.

Корректно поставленные задачи. Корректность задачи Коши для уравнения колебаний струны. Пример Адамара некорректно поставленной задачи Коши.

Учитывая общую постановку з.Коши, сформулируем з.Коши для ур-ия второго порядка с двумя независимыми переменными, т.е в пр-ве R²:

L(u) +b в D, (1)

(2)

где D-плоская область в R²; Г-линия внутри области D, Г С²;

Для строгой матем.постановки задачи Коши необходимо ввести след.прост-ва ф-ий: V₁(Г)-прос-ва начальных ф-ий ; V(D)-прос-во ф-ий u, в котором отыскивается решение задачи Коши. Для классических решений V(D) C²(D).

Опр. З.Коши поставлена корректно в прос-вах V₁, V₂, V, если выполнены три условия корректности: 1)для любых нач.ф-ий сущ.решение задачи u ; 2) для любых нач.ф-ий решение единственно в прост-ве V; 3) решение задачи u непрерывно зависит от начальных ф-ий .

Если не выполнено хотя бы одно из условий корректности, то задача называется некорректно поставленной. Если же не выполнено третье условие корректности, то задача Коши наз-ся неустойчивой по нач.данным.

Процедура построения решения задачи Коши для ур.колебания струны показывает, что любое классическое решение з.Коши для ур.колебания струны представимо формулой Даламбера ( + . Отсюда следует существование и единственность решения задачи в прос-ве V.

Пример Адамара.

На плоскости R² рассмотрим эллиптическое ур-ие Лапласа, для которого поставим з.Коши с нач.усл. на линии Г(у=0): в области D= , (3)

(4). Ур-ие (3) явл-ся ур-ем типа Ковалевской, поэтому в случае аналитических ф-ий на основании теоремы Ковалевской заключаем, что задача (3),(4) имеет единтств. аналитическое решение в некоторой достаточно малой окрестности линии Г. Т.о, первые два условия корректности выполнены. Исследуем третье условие корректности, т.е условие о непрерывной зависимости от начальных ф-ий. Для этого рассмотрим две задачи Коши с различными нач.усл. специального вида:

, (5)

где n-фиксированный положит.параметр.

Решения данных задач определяются выражениями u₁=0, u₂= Введем прост-ва ф-ий V₁=V₂=C₀^A(R¹), V= C₀^A(D), где C₀^A- прос-во ограниченных аналитических ф-ий.

(u₁,u₂)= < (6)

Очевидно, что нер-во (6) не выполнено при дост. Больших значениях пар-ра n, т.к. Т.о., з.Коши для эллиптического ур-ия (3), (4) поставлена некорректно, т.к. не выполнено третье условие корректности из определения.

11. Метод интегральных преобразований для решения задачи Коши для параболических уравнений.

Рассм. з.Коши для однор. параб. ур-ия с пост.коэф.: + (1)

(2). с нач.усл.(2), где ф-ия -ограничена и непрерывна на . Решим з.Коши методом интегральных преобр.. Применим преобр. Фурье по аргументу х: U(t)=F[u]. Формально изображение U зависит не только от аргумента t, но и переменной . Однако эту переменную будем считать пар-ром и не вкл.ее в число аргументов ф-ии U. Используя св-ва преобр. Фурье:

F[ ]=

F[ ]=

-образ ф-ии . Тогда преобразованная задача примет вид: =()U, U(0)= . Получим з.Коши для обыкн. ДУ с разделяющимися перем. U(t)= -решение ДУ. Возвращаясь к з.Коши (1),(2) получим: u(t,x)=

G(x,y,t)= (3)

Непосредственно вычисляя интеграл, получим:

=

u(t,x)= (4)

ф-ия G, введенная по правилу(3) наз-ся фундамент. решением ур-ия (1). С помощью него, решение з.Коши записывается в виде(4). Аналогично происходит применение интегральных преобразований к другим задачам мат.физики.