Уравнение Блэка - Шоулса, смешанная задача для функции стоимости опциона.

В финансовом обеспечении экономической деятельности предприятий важную роль играют производные ценные бумаги, в основе которых лежит определенный актив.

Пусть имеются два момента времени и , где - текущий момент времени, - некоторое фиксированное время в будущем. Пусть - цена акции в момент времени Напомним, что колл-опцион – соглашение в момент времени о том, что покупателю предоставляется право купить акцию с ценой в определенный момент времени в будущем по согласованной договорной цене . При этом необходимо заплатить цену опциона ( - функция цены акции и времени ).

Считается, что цена акции в момент времени является известной величиной, а в последующие моменты времени вплоть до – случайной величиной. Представим уравнение в форме Ито: .(7.68)

Этот факт необходимо учитывать при определении функции .

Очевидно, что , так как если , то опцион платить нет смысла, а сразу можно купить акции по цене . Очевидно также, что . (7.69)

Так как функция зависит от параметров , , то в развернутом виде .

Ф. Блэк и М. Шоулс [12] для определения функции предложили параболическое уравнение с частными производными. Это уравнение имеет вид

, (7.70)

 

где - волатильность акций; - безрисковая процентная ставка.

Очевидно, если моменты времени и совпадают , тогда при . В результате

(7.71)

Таким образом, получено окончательное выражение для цены опциона, представленное интегралами вероятностей.

Для вычисления стоимости пут-опциона необходимо начальное условие (7.71) заменить на начальное условие

 

 

и решить соответствующую краевую задачу.

 

 

34. Уравнение для плотности распределения акций в пространстве цен и смешанная задача для него. Стохастическое дифференциальное уравнение для стоимости акции. Рассмотрим ось на которой точка изображает акцию, а координата точки означает цену акции в момент времени . Физические размерности: , . Очевидно, что со временем точка будет перемещаться, так как цена акции изменяется. Функцию будем называть функцией цены акции, множество П - пространством цен (пространством Блэка-Шоулса). В простейшем случае функция подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению

, , (7.1) В дальнейшем будем рассматривать более общее уравнение

, (7.2) описывающее динамику цены акции. Дифференциальное уравнение для пакета акций. Уравнение (7.2) описывает динамику цены отдельной акции. Предположим, что имеется акций, цена которых описывается одним и тем же уравнением (7.2). Так как акции одного сорта продаются в различных условиях, то их цены в фиксированный момент времени могут различаться. Это означает, что акции некоторым образом распределены по оси Поместим на оси точек. Координата каждой точки (акции) означает цену, по которой данная акция была приобретена к моменту времени На оси рассмотрим достаточно малый интервал длины , и пусть – число точек (акций) на отрезке в момент времени

Введем функцию , (7.3) где - функция плотности распределения акций на положительной части оси (плотность акций). Размерность . Понятно, что - число акций, приобретенных по ценам в пределах отрезка к моменту времени Имеем . (7.4) Смешанная задача для уравнения плотности акций

Предположим, что в начальный момент времени акции распределены на полуоси и известна функция плотности их распределения . Требуется определить плотность акций из уравнения (7.14) в последующие моменты времени .Для этого решим следующую смешанную задачу для полубесконечного пространства : в , (7.17)

, , (7.18)

, , (7.19) где , , . Получим решение исходной задачи (7.17)-(7.19):

, (7.22)

 

где .