Параболические уравнения Колмогорова

Одномерные уравнения Колмогорова. Рассмотрим марковский стохастический процесс c переходной функцией плотности вероятностей . Выведем два уравнения с частными производными, которым удовлетворяет переходная функция по двум парам переменных, соответственно по и по . Вывод уравнений оформим в виде двух теорем.

Теорема 5.1. Пусть:

1) для переходной функции плотности вероятностей выполнены свойства А;

2) плотность при фиксированных и ограничена, то есть , где не зависит от и ;

3) функции , непрерывны, как функции двух переменных и на множестве ;

4) производные , непрерывны на множестве .

Тогда плотность удовлетворяет параболическому уравнению с частными производными по переменным , на : .

 

 

Постановка задач для уравнения денежных накоплений ансамбля семей. Как было ранее показано, если динамика денежных накоплений отдельной семьи подчиняется стохастическому уравнению (6.13), где - марковский стохастический процесс с переходной функцией пло-тности вероятностей , которая определяется функциями (5.10), тогда плотность ансамбля семей в пространстве накоплений N удовлетворяет параболическому уравнению (6.30): , (6.56),где . Из множества решений уравнения (6.56) необходимо найти единственное решение, которое адекватно описывает динамику накоплений выделенного множества семей, схожих по своей экономической деятельности. Для выделения единственного решения на искомую функцию необходимо наложить некоторые дополнительные условия, возникающие в зависимости от дополнительной информации, которой обладает исследователь. Сформулируем краевые задачи для уравнения (6.56) по аналогии с краевыми задачами математической физики.

 

 

7.Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Исключение младших производных в уравнениях. Уравнение характеристик. Рассмотрим класс линейных уравнений второго порядка с независимыми переменными: , (1)

где коэффициенты определены в области .Выделим главную часть уравнения . (2) Рассмотрим числовых переменных и поставим в соответствие производным функции числовые выражения по следующему правилу ,(3) тогда главной части (3) соответствует полином по переменным : . (4) Полином (4) по переменным называется характеристическим полиномом. Зафиксируем точку , получим квадратичную форму с постоянными коэффициентами . (5) Рассмотрим поверхность , принадлежащую области , которую зададим уравнением ,(6), где .

Опр. Поверхность , заданная уравнением (6), называется характеристикой или характеристической поверхностью уравнения (1), если во всех точках поверхности функции удовлетворяет ур.

Уравнение (7) называется уравнением характеристик

Приведение к каноническому виду уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим уравнение (1) с постоянными коэффициентами

(8)

Приведем его к каноническому виду с помощью замены независимых переменных. Для этого в уравнении (8) перейдем от переменных к новым переменным , производя замену , (9) Причем преобразование (9) не вырожденное det()

Вычислим производные

,

.

После подстановки в (8) получим уравнение в новых переменных:

где , тогда уравнение (8) с помощью преобразования (9) приводится к каноническому виду .

 

8. Постановка задачи Коши. Теорема Коши-Ковалевской. Рассмотрим -мерное евклидово пространство . Пусть - связная область в пространстве , точка . В области зададим уравнение с частными производными второго порядка

(1)

с достаточно гладкими коэффициентами. Тип уравнения (1) может быть любым. В пространстве зададим незамкнутую без самопересечений поверхность с помощью уравнения (2) где функция является дважды непрерывно дифференцируемой функцией, то есть , а в любой точке .
Обозначим через часть поверхности, лежащей внутри области . Будем предполагать, что область представима в виде , где 0 , а подобласти , не имеют общих точек с поверхностью (см. рис. 1).

На поверхности зададим два условия на неизвестную функцию : , , (3) где , - заданные функции на поверхности ; - единичная нормаль к поверхности в точке ; - производная по направлению нормали , которая определяется выражением

, . (4)

Условия (3) называются начальными условиями.

Задача Коши 1(классическая постановка)

в области , (5)

, . (6)

Требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (5) в области и начальным условиям (6) на поверхности . Функция , которая удовлетворяет указанным требованиям, называется классическим решением задачи Коши.

Теорема Ковалевской. Если коэффициенты уравнения (*) и нач. фу-ии (**) , являются аналитическими функциями, тогда для любой точки y₀ кривой Г(t-0) существует окрестность этой точки, целиком лежащей в обл. в кот. реш. з.Коши (*), (**) единственной в пространстве аналитических функций.