Классификация уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Системы уравнений с частными производными.

Предмет дифференциальных уравнений с частными производными. Историческое развитие исследований уравнений с частными производными, их использование в методах математического моделирования реальности. Современное состояние науки.

При математ. моделировании различных явлений получ-ся ДУ, в кот. входит неизвестная ф-ция, зависящая от многих независимых переменных и, следоват., ур-ние, поскольку оно явл-ся ДУ, содержит частные производные от неизвестной ф-ции. Т.к. почти все физич. явления описыв-ся ДУвЧП, то часто в тех случаях, когда ДУ описывает физич. процесс, эти ур-ния наз-ся ур-ниями мат. физики. Однако надо иметь в виду, что ДУвЧП опис-ся не только физич., но и химич.,биологич. и экономич. процессы и явления. Типичный пример – ур-ние теплопроводности.

Большой вклад в развитие ДУвЧП внесли многие математики мира. Для решения задач ДУвЧП были созданы новые разделы: функциональный анализ, теория обобщенных ф-ций, теория новых функциональных простр-в. Отметим самые известные имена в истории развития ДУвЧП.

И.Г.Петровский положил начало развития общей теории линейных систем в частных производных, а также их классификацию. С.Л.Соболев ввел новое понятие – обобщенное решение дифф. ур-ния; им были введены и изучены новые функциональные пространства.

Исследования в области ДУвЧП идут в двух направлениях. С одной стороны: создается общая теория ДУвЧП, т.е. для общих ур-ний и граничных условий изучаются вопрося существования решений, их единственность и устойчивость. С другой стороны: существует много ДУвЧП, описывающих те или иные физические или биологические явления, решения которых нужно изучить при различных граничных условиях, в том числе изучить качественные свойства этих решений.

 

 

2.Основные понятия об уравнениях с частными производными. Классические решения простейших уравнений с частными производными. Общее решение гиперболических уравнений второго порядка с двумя переменными. Рассмотр. n-мерное евклидово простр-во если x , то она имеет координаты x=x(x1,…,xn). Пусть . В этой обл. рассмотрим ф-цию u=u(x)=u(x1, …xn).

Опр. Множ-во ф-ций ( наз-ся простр-вом m раз непрер-диффер ф-ций на обл Ω, т.е. u (, то это значит, что на обл.Ω сама ф-ция определена и непрерывна, а также существ и непрер все её частные производн на обл Ω до порядка n включительно.В случае m= имеем простр-во любое число раз непрер-диффер ф-ций.

Рассмотр произв ф-цию F(x1,..,xn,z1,…,zn) .Будем предполагать, что существ и непрер частн производн: ≠0.

Опр. Диффер ур-нием с частн производн относит ф-ции u=u(x) будем назыв рав-во: F(x,u, .(1)

C помощью ф-ции F введем диффер оператор L он действует на ф-цию u:

L[u]= F(x,u, .Т.о. в результате действия оператора L на ф-цию u получаем непрерывную ф-цию.Тогда ур-ние (1)можем записать в виде: L[u]=0.

Опр. Классическим решением ур-ния(1)на обл Ω назыв такую ф-цию u (, кот при подстановке в рав-во (1) обращает его в верное тождество.

Из записи (1) что в ур-ние (1) входит производная со старшим порядком m. Поэтому будем говорить, что порядок ур-ния равен m, или степень оператора L равна m.

Ур-ние (1) иногда можно записать в виде: L[u]=f(x).Такое ур-ние назывюлинейным ур-нием с частнами производнами, если для оператора L выполнены условия линейности:

L[αu]=αL[u], α u ( (2)

L[u1+u2]=L[u1]+L[u2] (3)

Утвержд. Любое линейн ур-ние с частн производн порядка m имеет вид:

=f(x) (4)

Т.е.L[u]= , k-мультииндекс с координ k=(k1,k2,…,kn); |k|=k1+k1+…+kn.

Если в ур-нии (4) ф-ция f(x)=0, то такое ур-ние наз-ся однородным, в противн случ неоднородным.

 

Корректно поставленные задачи. Корректность задачи Коши для уравнения колебаний струны. Пример Адамара некорректно поставленной задачи Коши.

Учитывая общую постановку з.Коши, сформулируем з.Коши для ур-ия второго порядка с двумя независимыми переменными, т.е в пр-ве R²:

L(u) +b в D, (1)

(2)

где D-плоская область в R²; Г-линия внутри области D, Г С²;

Для строгой матем.постановки задачи Коши необходимо ввести след.прост-ва ф-ий: V₁(Г)-прос-ва начальных ф-ий ; V(D)-прос-во ф-ий u, в котором отыскивается решение задачи Коши. Для классических решений V(D) C²(D).

Опр. З.Коши поставлена корректно в прос-вах V₁, V₂, V, если выполнены три условия корректности: 1)для любых нач.ф-ий сущ.решение задачи u ; 2) для любых нач.ф-ий решение единственно в прост-ве V; 3) решение задачи u непрерывно зависит от начальных ф-ий .

Если не выполнено хотя бы одно из условий корректности, то задача называется некорректно поставленной. Если же не выполнено третье условие корректности, то задача Коши наз-ся неустойчивой по нач.данным.

Процедура построения решения задачи Коши для ур.колебания струны показывает, что любое классическое решение з.Коши для ур.колебания струны представимо формулой Даламбера ( + . Отсюда следует существование и единственность решения задачи в прос-ве V.

Пример Адамара.

На плоскости R² рассмотрим эллиптическое ур-ие Лапласа, для которого поставим з.Коши с нач.усл. на линии Г(у=0): в области D= , (3)

(4). Ур-ие (3) явл-ся ур-ем типа Ковалевской, поэтому в случае аналитических ф-ий на основании теоремы Ковалевской заключаем, что задача (3),(4) имеет единтств. аналитическое решение в некоторой достаточно малой окрестности линии Г. Т.о, первые два условия корректности выполнены. Исследуем третье условие корректности, т.е условие о непрерывной зависимости от начальных ф-ий. Для этого рассмотрим две задачи Коши с различными нач.усл. специального вида:

, (5)

где n-фиксированный положит.параметр.

Решения данных задач определяются выражениями u₁=0, u₂= Введем прост-ва ф-ий V₁=V₂=C₀^A(R¹), V= C₀^A(D), где C₀^A- прос-во ограниченных аналитических ф-ий.

(u₁,u₂)= < (6)

Очевидно, что нер-во (6) не выполнено при дост. Больших значениях пар-ра n, т.к. Т.о., з.Коши для эллиптического ур-ия (3), (4) поставлена некорректно, т.к. не выполнено третье условие корректности из определения.

11. Метод интегральных преобразований для решения задачи Коши для параболических уравнений.

Рассм. з.Коши для однор. параб. ур-ия с пост.коэф.: + (1)

(2). с нач.усл.(2), где ф-ия -ограничена и непрерывна на . Решим з.Коши методом интегральных преобр.. Применим преобр. Фурье по аргументу х: U(t)=F[u]. Формально изображение U зависит не только от аргумента t, но и переменной . Однако эту переменную будем считать пар-ром и не вкл.ее в число аргументов ф-ии U. Используя св-ва преобр. Фурье:

F[ ]=

F[ ]=

-образ ф-ии . Тогда преобразованная задача примет вид: =()U, U(0)= . Получим з.Коши для обыкн. ДУ с разделяющимися перем. U(t)= -решение ДУ. Возвращаясь к з.Коши (1),(2) получим: u(t,x)=

G(x,y,t)= (3)

Непосредственно вычисляя интеграл, получим:

=

u(t,x)= (4)

ф-ия G, введенная по правилу(3) наз-ся фундамент. решением ур-ия (1). С помощью него, решение з.Коши записывается в виде(4). Аналогично происходит применение интегральных преобразований к другим задачам мат.физики.

 

 

Первая смешанная задача.

в области , (3.2) , , , (3.3)

, , . (3.4)

 

При заданных функциях требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (3.2) в области , начальным условиям (3.3) и граничным условиям первого рода (3.4). ■

Третья смешанная задача.

в области , (3.10)

, , (3.11)

, . (3.12)

 

Первая смешанная задача.

в области , (2)

, , (3)

, , . (4)

При заданных функциях требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (2) в области , начальному условию (3) и граничным усл первого рода (4). Функции , если .

Условия согласования: .

Задача (2)-(4) описывает процесс распространения тепла в тонком стержне длины , расположенном вдоль отрезка .Функция задает температуру стержня в сечении в момент времени . Граничные условия (4) означают, что в торцах стержня поддерживаются заданные температуры , . Функция в начальном условии (3) задает температуру стержня в каждом сечении в начальный момент времени .

Вторая смешанная задача.

в области , (5)

, , (6)

, , . (7)

При заданных функциях требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (5) в области , начальному условию (6) и граничным усл второго рода (7).

Условия согласования: .

Граничные условия (7) означают, что в торцах стержня заданы тепловые потоки.

Третья смешанная задача.

в области , (8)

, (9)

, . (10)

При заданных функциях , требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (8) в области , начальному условию (9) и граничным усл третьего рода (10).

Условия согласования: , .

Граничные условия (10) моделируют теплообмен стержня через торцы с окружающей средой.

Заметим, что для существования классических решений сформулированных задач необходимо на начальные и граничные функции и на правую часть уравнения теплопроводности накладывать некоторые дополнительные условия.

Предмет дифференциальных уравнений с частными производными. Историческое развитие исследований уравнений с частными производными, их использование в методах математического моделирования реальности. Современное состояние науки.

При математ. моделировании различных явлений получ-ся ДУ, в кот. входит неизвестная ф-ция, зависящая от многих независимых переменных и, следоват., ур-ние, поскольку оно явл-ся ДУ, содержит частные производные от неизвестной ф-ции. Т.к. почти все физич. явления описыв-ся ДУвЧП, то часто в тех случаях, когда ДУ описывает физич. процесс, эти ур-ния наз-ся ур-ниями мат. физики. Однако надо иметь в виду, что ДУвЧП опис-ся не только физич., но и химич.,биологич. и экономич. процессы и явления. Типичный пример – ур-ние теплопроводности.

Большой вклад в развитие ДУвЧП внесли многие математики мира. Для решения задач ДУвЧП были созданы новые разделы: функциональный анализ, теория обобщенных ф-ций, теория новых функциональных простр-в. Отметим самые известные имена в истории развития ДУвЧП.

И.Г.Петровский положил начало развития общей теории линейных систем в частных производных, а также их классификацию. С.Л.Соболев ввел новое понятие – обобщенное решение дифф. ур-ния; им были введены и изучены новые функциональные пространства.

Исследования в области ДУвЧП идут в двух направлениях. С одной стороны: создается общая теория ДУвЧП, т.е. для общих ур-ний и граничных условий изучаются вопрося существования решений, их единственность и устойчивость. С другой стороны: существует много ДУвЧП, описывающих те или иные физические или биологические явления, решения которых нужно изучить при различных граничных условиях, в том числе изучить качественные свойства этих решений.

 

 

2.Основные понятия об уравнениях с частными производными. Классические решения простейших уравнений с частными производными. Общее решение гиперболических уравнений второго порядка с двумя переменными. Рассмотр. n-мерное евклидово простр-во если x , то она имеет координаты x=x(x1,…,xn). Пусть . В этой обл. рассмотрим ф-цию u=u(x)=u(x1, …xn).

Опр. Множ-во ф-ций ( наз-ся простр-вом m раз непрер-диффер ф-ций на обл Ω, т.е. u (, то это значит, что на обл.Ω сама ф-ция определена и непрерывна, а также существ и непрер все её частные производн на обл Ω до порядка n включительно.В случае m= имеем простр-во любое число раз непрер-диффер ф-ций.

Рассмотр произв ф-цию F(x1,..,xn,z1,…,zn) .Будем предполагать, что существ и непрер частн производн: ≠0.

Опр. Диффер ур-нием с частн производн относит ф-ции u=u(x) будем назыв рав-во: F(x,u, .(1)

C помощью ф-ции F введем диффер оператор L он действует на ф-цию u:

L[u]= F(x,u, .Т.о. в результате действия оператора L на ф-цию u получаем непрерывную ф-цию.Тогда ур-ние (1)можем записать в виде: L[u]=0.

Опр. Классическим решением ур-ния(1)на обл Ω назыв такую ф-цию u (, кот при подстановке в рав-во (1) обращает его в верное тождество.

Из записи (1) что в ур-ние (1) входит производная со старшим порядком m. Поэтому будем говорить, что порядок ур-ния равен m, или степень оператора L равна m.

Ур-ние (1) иногда можно записать в виде: L[u]=f(x).Такое ур-ние назывюлинейным ур-нием с частнами производнами, если для оператора L выполнены условия линейности:

L[αu]=αL[u], α u ( (2)

L[u1+u2]=L[u1]+L[u2] (3)

Утвержд. Любое линейн ур-ние с частн производн порядка m имеет вид:

=f(x) (4)

Т.е.L[u]= , k-мультииндекс с координ k=(k1,k2,…,kn); |k|=k1+k1+…+kn.

Если в ур-нии (4) ф-ция f(x)=0, то такое ур-ние наз-ся однородным, в противн случ неоднородным.

 

Классификация уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Системы уравнений с частными производными.

L[u]= + + + + +c(x,y)u=f(x,y) (6)

Для классификации ур-ний введем в рассмотрение вспомогат ф-цию:D(x,y)= - -дискриминант ур-ния (6).

Опр. В зависимости от дискриминанта ур-ние (6) наз-ся:

1)гиперболическим в т.(, ) , если D(,

2)параболическим в т.(, ) , если D(,

3) эллиптическим в т.(, ) , если D(,

Графически ур-ние D(, определ некот кривую l,кот может делить обл Ω на 2 подобл , где D>0 и D<0 соотв, тогда на ур-ние (6) гиперболич типа, на - эллиптич типа, на l –параболич типа.В этом случае будем говорить, что на всей обл Ω ур-ние (6) смешанного типа. Тогда обл - обл эллиптичности, линия l-линияпараболичности.

Пример: 1)ур-ние колебаний струны:

- =f(t,x)

2)одномерное ур-ние теплопроводности:

- =f(t,x)

3)ур-ние Пуассона:

+ =f(t,x)

Системы. Рассмотр kнеизвестных ф-ций , и k вспомогательных ф-ций ,…, ,обладающих св-вами аналогичными св-вам ф-ции F.

Опр. Системой ДУ с частными производными относит kнеизвестных ф-ций (i=1,2,…,k) наз-ся k ур-ний:

)=0

… (1.9)

)=0

Сис-ма ур-ний (1,9) линейная, если

, где

Классификация систем проводится аналогично как классификация уравнений.