Краевые задачи Дирихле,Неймана и 3го рода для элиптческих ур-ний.Спектральная задача для оператора Лапласа.Корректность внутрих и внешнх краевых задач для ур-ия Лапласа и Пуассона

Рассмотрим ограниченную связную обл DϵRⁿс граничной по­верхностью Г=∂D, охватывающей облD. Пусть для определенно­сти Г . В обл D зададим эллиптическое ур-ие 2ого по­рядка с достаточно гладкими коэффициентами:L(u)= _ij( + _i( + a ( =f( (16),где =(x₁,x₂,..,x_n) D.Потребуем, чтобы искомая ф-ия u на границе Г:u( =φ(, где φ( -заданная ф-ия на поверхности Г. Задача Дирихле. L(u)=f( (17) в облD, u( =φ( (18),где D-ограниче обл.Требуется найти ф-ию u (D) , которая удовлетворяет ур-нию (17) в обл D и граничн. условию (18) на граничной по­верхности Г. Задача Дирихле наз-ся также 1ой краевой задачей. Рассмотрим частный случай задачи(17),(18),ко­гда ур-ние (17) является ур-ием Пуассона в 3-ном пространстве R³с координатами x,y,z, а обл D R³. Внутренняя задача Дирихле. Δu + + =f(x,y,z) в обл D,(19) u(P =φ(P), (20) где D–ограниченная обл. Решение u(M)=u(x,y,z) (D) ,наз-ся классическим ре­шением задачи (19),(20).

Корректность задачи (19),(20),состоящей в следующем: требуется выделить пространство V граничных ф-ий φ,для котрых реше­ние задачи , единственно в пространстве U и непре­рывно зависит от граничных ф-ий. Наиболее просто решаются вопросы о единственности и непрерывной зависимости. Т.1. Если решение u (D) задачи Дирихле(19),(20) суще­ствует, тогда оно единственно в пространстве u. Т.2. Решение задачи Дирихле (19),(20),в предположении его суще­ствования в прост-ве U,непрерывно зависит от гранич­ных ф-ий φ. Т.Шаудера. Пусть в ур-ии (16) коэфициенты а _ij(, а _i(, а (x), f(,m≥0, a (x)≤0, граничная поверхность Г , гранич­ная ф-ия φ( (Г). Пусть выполнено неравенство рав­номерной эллиптичности ур-ия (17): _ij( ≥C , C>0, тогда единствен­ное решение задачи (17),(18) u ). Из теорем следует,что в пространствах U и V задача Дирихле (19),(20) для ур-ия Пуассона поставлена корректно.

Рассмотрим обл D’=R³,внешнюю по отношению к ограниченной обл D R³, наложим условия u(M)->0 при M-> . Внешняя задача Дирихле в R³. Δu=f(x,y,z)(22)в облD’, u(P =φ(P) (23),u(M)=>0 при M-> (24). Требуется найти ф-ию u (D’) , которая удовлетворяет ур-ию (22) в облD’, граничному усл (23) и равномерно->0 на бесконечности. Задача Неймана для ур-ия Пуассона. Рассмотрим ограниченную обл D R³с границей Г .Для обл D поставим краевую задачу для уравнения Пуассона, когда на поверхности Г задана производная функции u. Внутренняя задача Неймана. Δu=f(x,y,z) в D, f ,(25) ,ψ ,(26),где -внешняя единичная нормаль к поверхности Г в точке PϵГ.

Требуется найти ф-ию u (D) , которая удовлетвор ур-ию (25) в обл D и граничному усл(26) на граничной поверхности Г обл D.Задача Неймана называется 2ой краевой задачей. Внутр задача Неймана некорктнa,т.е. не для непрерывнх граничнх ф-ий ψ из(26) решение задачи,а если ,то не единственное Внешняя задача Неймана в R³. Δu=f(x,y,z)в облD’, (29) (30),u(M)=>0 при M-> (31). Т5. Если решение u (D’) внешней задачи Неймана (29)-(31),тогда оно единственно в пространстве U.

9.Метод характеристик. Формула Даламбера для решения задачи Коши для уравнения колебаний струны. Формула Даламбера. Для отыскания решения задачи в , (1)

, , (2)

 

, , (3)

применим метод характеристик. Метод состоит в приведении исходного уравнения (1) к каноническому виду и нахождении общего решения. Для гиперболического уравнения (1)ур. характ-к имеет вид , а его характеристиками будут: , .

Производя замену переменных , ,приведем уравнение (1) к каноническому виду . Из общего решения имеем . Откуда общее решение однородного уравнения колебаний струны (1)

. (4) Определим неизвестные функции из начальных условий. Подставив (4) в условие (2), получим соотношение . (5)Аналогично, подставляя (4) в условие (3), получаем

 

, (6)

где - производные по переменной .

Интегрируя равенство (6) по отрезку , получаем второе соотношение:

(7)

Разрешим систему алгебраических уравнений (5), (7), тогда

 

, .

 

После подстановки найденных функций в (4) получим формулу Даламбера для решения исходной задачи Коши:

 

. (8)

Заметим, что найденное решение является классическим, так как для .

В случае неоднородного уравнения колебаний струны решение задачи Коши

,

определяется формулой

, где .

Замечание Поставленная з. Коши опред. колебанием бесконечной струны, когда концы струны настолько удалены, что практически не влияют на процесс колебания.