Интервальная оценка. Доверительные интервал и вероятность

Для практики важно не только получить точечную оценку, но и определить интервал, между границами которого с заданной вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра, т.е.

P { x_н<х<х_в} = 1-q, где q – уровень значимости,

Р – доверительная вероятность,

(x_н, х_в) – доверительный интервал,

x_н и х_в – соответственно нижняя и верхняя границы доверительного интервала.

Получение интервальной оценки среднего значения случайного параметра, распределенного по нормальному закону, проводится в следующем порядке:

- определяются точечные оценки среднего значения () и стандарта (σ);

- определяется значение аргумента t в таблице функций Лапласа (приложение, табл. 2), соответствующее заданной доверительной вероятности Р, которое означает, на сколько стандартов граница интервала отступает от среднего значения.

- находятся нижняя и верхняя границы интервалом по формуле:

, (4.4)

где n – число измерений.

Поскольку при нормальном распределении x_н и х_в – симметричны относительно среднего, то t находят по таблице функций Лапласа, исходя из их отступления от нуля в каждую сторону в соответствии с доверительной вероятностью Р/2.

В задачах, связанных с областью строительства, часто важно определить только одну границу (нижнюю для прочности, верхнюю для нагрузки).

В этом случае t находят, исходя из отступления от нуля с вероятностью (Р-0,5).

Примеры:

1. Заданная надежность определения класса бетона –0,95. Средняя прочность в результате 9 измерений - 30,0МПа, стандарт – 4МПа.

Определить класс бетона В.

Из таблицы функций Лапласа вероятности 0,95-0,5=0,45 соответствует деление t=1,65.

В =30 - = 27,8 МПа.

 

2. При тех же условиях определить интервал прочностей с вероятностью 0,95.

Из таблицы функций Лапласа вероятности 0,95/2=0,475 соответствует значение t =1,96.

 

х_н,в =30± =30±2,6 МПа.

 

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение случайной погрешности измерений.

2. Что такое точечная и интервальная оценка случайной погрешности?

3. Какие случайные события описывает нормальный закон распределения?

4. Объясните смысл критерия согласия Пирсона.

5. Приведите примеры интервальной оценки прочности бетона (класса и марки).

 

Грубые погрешности

Грубая погрешность (промах) – это погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, который для данных условий резко отличается от остальных результатов. К наиболее распространенным причинам грубых погрешностей можно отнести:

- неправильный отсчет по шкале измерительного прибора;

- неправильная запись результата измерений;

- резкое изменение условий измерения(например, изменение питающего прибор электрического напряжения).

Основным способом недопущения грубых погрешностей являются повторные измерения. Для выявления и исключения грубых погрешностей применяются статистические методы.