Вероятностные оценки погрешности результата измерения

Цель обработки результатов наблюдений – это установление действительного значения измеряемой величины, которое может быть принято вместо истинного значения измеряемой величины, и степени близости действительного значения к истинному.

Действительное значение неизбежно содержит случайную погрешность. Для количественной оценки случайных погрешностей и установления границ случайной по­грешности результата измерения могут использоваться: предельная по­грешность, интервальная оценка, числовые характеристики закона рас­пределения. Выбор конкретной оценки определяется необходимой пол­нотой сведений о погрешности, назначением измерений и характером использования их результатов. Комплексы оценок показателей точности установлены стандартами.

Когда при проведении с одинаковой тщательностью и в одинаковых ус­ловиях повторных наблюдений одной и той же постоянной величины по­лучаем результаты, отличающиеся друг от друга, это свидетельствует о на­личии в них случайных погрешностей.

Методы теории вероятностей и математической статистики позволяют установить вероятностные (статистические) закономерности появления случайных погрешностей и на основании этих закономерностей дать количественные оценки ре­зультата измерения и его случайной погрешности.

Из теории вероятности известно, что оценкой математического ожидания является среднее арифметическое результатов отдельных наблюдений -

, (3.1)

 

где - i-й результат наблюдения;

- число результатов наблюдений.

Оценка дисперсии ряда наблюдений рассчитывается по формуле

.

 

Среднее квадратическое отклонение ряда наблюдений является основной характеристикой размера случайных погрешностей результатов наблюдений. Формула для расчета оценки среднего квадратического отклонения s

= + , (3.2)

при n à (практически при n > 30), S² à D, S à s.

Для расчета среднего квадратического отклонения результата измерения используется формула

. (3.3)

Среднее квадратическое отклонение результата измерения является основной характеристикой размера случайных погрешностей результата измерений.

Основными понятиями при статистических оценках являются понятия доверительного интервала и доверительной вероятности.

Доверительным интервалом называется интервал, в который с заданной доверительной вероятностью попадают значения случайной величины (погрешности). Доверительный интервал выражается в виде

, (3.4)

где - среднее квадратическое отклонение результата наблюдения;

- квантильный множитель, значение которого зависит от выбранного закона распределения случайной погрешности.

Так для равномерного закона распределения и не зависит от доверительной вероятности. Для нормального закона распределения зависит от значения доверительной вероятности Р и количества выборочных значений n; значения для наиболее употребительных доверительных вероятностей Р и различных n приведены в табл.П1-4-1 [1].

Доверительные границы случайной погрешности x, соответст­вующие доверительной вероятности Р, находят по формуле .

Значение и знак случайной погрешности определить невозможно. Для учета случайной погрешности проводят многократные (статистические) измерения. Оценивая случайную погрешность, говорят об ожидаемой погрешности. Грубая погрешность – это случайная погрешность, существенно превышающая ожидаемую погрешность при данных условиях. Промах – погрешность, которая явно искажает результат измерения. За промах принимают случайную субъективную погрешность экспериментатора.

Довери­тельному интервалу ±3 соответствует Р = 0,997. Это означает, что прак­тически с вероятностью очень близкой к единице ни одно из возможных значений погрешности при нормальном законе ее распределения не вый­дет за границы интервала. Поэтому, при нормальном распределении по­грешностей, принято считать случайную погрешность с границами ±3 предельной (максимально возможной) погрешностью. Погрешности, вы­ходящие за эти границы, классифицируют как грубые или промахи. Грубые погрешности и промахи обычно исключаются из экспериментальных данных до начала статистической обработки результатов наблюдений.

 

Задача №1

В результате проведенных измерений оказалось, что наиболее вероятное содержание кислорода в газовой смеси составляет Х =11,75%. Доверительный интервал погрешности измерения определялся для доверительной вероятности = 0,683 и составил = 0,5% .

Определить границы доверительного интервала при доверительной вероятности = 0,95, если известно, что закон распределения погрешностей нормальный.

Варианты индивидуальных заданий приведены в Приложении В, таблица В1.

 

Пример решения задачи №1

При нормальном законе распределения погрешностей при доверительной вероятности 0,683 доверительные границы случайной погрешности определяют по таблице П1-4-1 [1]: . При доверительной вероятности 0,95 . Таким образом, числовое значение доверительного интервала для доверительной вероятности 0,95 составит . Границы доверительного интервала по (3.4) будут равны

.

 

Ответ: .

 

Задача №2

Определить границы доверительного интервала погрешности измерения температуры с вероятностью Р, если при большом числе измерений были получены среднее арифметическое результата наблюдений и дисперсия . Предполагается нормальный закон распределения погрешности.

Варианты индивидуальных заданий приведены в Приложении В, таблица В2.

 

Задача № 3

В результате большого числа измерений термо-ЭДС был определен доверительный интервал , мВ, с доверительной вероятностью Р. Определить среднюю квадратическую погрешность измерения термо-ЭДС в предположении нормального закона распределения погрешности.

Варианты индивидуальных заданий приведены в Приложении В, таблица В3.

 

Задание №2