Формулы полной вероятности и Байеса.

В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков:10% от первого, 40% от второго и 50% от третьего. Практика показала, что телевизоры, поступающие от первого, второго и третьего поставщиков, не потребуют ремонта в течении гарантийного срока, соответственно в 70%,90% и 80% случаев.

1) найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока;

2) проданный телевизор не потребовал ремонта в течение гарантийного срока, от какого поставщика вероятнее всего поступил телевизор?.

Решение.

1) обозначим через А- «телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока». Возможны следующие предположение (гипотезы) о поставщике поступившего в торговую фирму телевизора.

H₁= «телевизор поступил от первого поставщика»;

H₂= «телевизор поступил от второго поставщика»;

H₃= «телевизор поступил от третьего поставщика».

По условию Р(H₁)=0.1; Р(H₂)=0.4; Р(H₃)=0.5

Условные вероятности того, что телевизор не потребует ремонта, если он поступил от поставщика: Р(А/H₁)=0.7; Р(А/H₂)=0.49; Р(А/H₃)=0.8

По формуле полной вероятности: Р(А)= Р(H₁) Р(А/H₁)+ Р(H₂) Р(А/H₂)+ Р(H₃) Р(А/H₃)=

0,1*0,7+0,4*0,9+0,5*0,8=0,83.

2) найдем вероятности того, что телевизор не потребовал ремонта в течение гарантийного срока от первого, второго и третьего поставщиков.

По формуле Байеса:

Таким образом, наивероятнейшей будет гипотеза о том, что телевизор потупил от третьего поставщика.

 

Формула Бернулли.

В семье 5 детей. Найти вероятности того, что среди этих детей:

1) 4 мальчика;

2) не менее четырех мальчиков;

3) менее четырех мальчиков.

Вероятность рождения мальчика равна 0,51.

1). Вероятность рождения мальчика равна 0,51, значит вероятность рождения девочки равна 0,49.

Используем формулу Бернулли

2)

3)

Формула Пуассона.

На факультете 730 студентов. Какова вероятность того, что

а) 1 сентября является днем рождения одновременно трех студентов факультета;

б) хотя бы у одного день рождения 1 сентября;

в) более трех человек имеют день рождения 1 сентября.

Решение.

а) Вероятность того, что день рождения студента будет 1 сентября p=1/365. Так как р – мало, а n- велико и то применима формула Пуассона.

б) Р{хотя бы один день рождения 1 сентября}= 1- P{ни одного дня рождения 1 сентября}= 1- = 1-0,1353=0,8647.

в) P{более трех дней рождения 1 сентября}= 1-P{не более трех дней рождения}= 1-()=1-(0,1353+0,2707+0,2707+0,1805)=0,1428.

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Контрольную работу по теории вероятностей с первого раза успешно выполняют 50% студентов. Найти вероятность того, что из 100 студентов работу успешно выполнят а) 45 студентов; б) от 45 до 65 студентов.

Решение.

а) по условию р=0,5. Так как n велико (npq=100*0.5*0.5=25³9), то применим локальную теорему Лапласа.

б) .

 

К задачам 11-20.

 

Задана непрерывная случайная величина Χ функцией распределения F(х). Требуется:

1) найти плотность распределения вероятностей f(x);

2) схематично построить графики функций f(x) и F(х);
3) найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х;

4) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала ().

Решение.

1) плотность распределения случайной величины равна первой производной от функции распределения.

. Условие нормировки выполнено.

2)

3) Для нахождения математического ожидания используем формулу , где a,b начало и конец интервала, где определена плотность.

;

4)

.

Приложение. Для вычисления интегралов используем формулы.

К задачам 21-30.

Заданы математическое ожидание а=3 и среднее квадратичное отклонение s=5 нормально распределенной случайной величины Х.

1. Написать плотность распределения вероятностей и схематично построить ее график.
2. Найти вероятность того, что х примет значение из интервала (2;10).
3. Найти вероятность того, что х примет значение превышающее 10.
4. Найти интервал симметричный относительно математическое ожидание, в котором с вероятностью g=0,95 будут заключены значения величины х.

Решение.

1). Составим функцию плотности распределения случайной величины Х с параметрами а=3, s=5 воспользовавшись формулой

. Построим схематически график функции . Обратим внимание на то, что нормальная кривая симметрична относительно прямой х=3 и имеет max в этой точке, равный , т.е. и две точки перегиба с ординатой

Построим график

2) Воспользуемся формулой:

Значения функций найдены по таблице приложений.

3)

4) Воспользуемся формулой . По условию вероятность попадания в интервал симметричный относительно математического ожидания . По таблице найдем t, при котором Ф(t)=0,475, t=2. значит . Таким образом, . Ответ хÎ(-1;7).

К задачам 31-40.

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение s=5, выборочная средняя и объем выборки n=25.

Решение.

Требуется найти доверительный интервал .

Все величины, кроме t, известны. Найдем t из соотношения Ф(t)=0,95/2=0,475. По таблице приложения находим t=1,96. Подставив, окончательно получим искомый доверительный интервал 12,04<a<15,96.

К задачам 41-50.

Отдел технического контроля проверил 200 партий одинаковых изделий и получил следующее эмпирическое распределение, частота n_i – количество партий, содержащих x_i нестандартных изделий.требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что число нестандартных изделий Х распределено по закону Пуассона.

xi
ni

Решение.

Найдем выборочную среднюю:

Примем в качестве оценки параметра l распределения Пуассона выборочную среднюю l=0,6. Следовательно, предполагаемый закон Пуассона имеет вид .

Положив i=0,1,2,3,4 найдем вероятности P_iпоявления i нестандартных изделий в 200 партиях: , , , , .

Найдем теоретические частоты по формуле . Подставив в эту формулу значения вероятности, получим , , , , .

Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу. Объединим малочисленные частоты(4+2=6) и соответствующие им теоретические частоты (3,96+0,6=4,56).