Оценка и правила округления погрешностей

Оценки погрешностей могут быть точечные и интервальные.

Точечные оценки определяются одним значением. Например, для систематической погрешности такой оценкой может быть предел ее абсолютной величины (предел сверху).

Интервальные оценки обозначают границы погрешностей сверху и снизу (например, плюсовой и минусовой допуски к размерам изделий).

Вероятностные оценки (доверительные интервалы) обозначают границы, в пределах которых находится истинное значение измеряемой величины с заданной вероятностью. Предельные (безусловные) оценки соответствуют вероятности, равной P = 1.

 

Принципы оценки погрешностей

1. Как отмечалось выше, погрешность результата измерений складывается из различных составляющих. Поэтому оценивать погрешность можно или по каждой составляющей, или в целом. Последний способ часто оправдан, поскольку каждую составляющую погрешности учесть сложно.

2. Оценки погрешности берутся приближенными с достаточной точностью (нет необходимости мерить точнее, чем рассчитывать, равно, как и наоборот).

3. Погрешность оценивается, как правило, сверху («в запас»).

 

Правила округления погрешностей

1.Погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной - если первая цифра равна 3 или более.

Пример. Погрешность 1,2%, 2,3%, но 3%, 5%.

2.Результат измерения округляется до того же десятичного знака, которым оканчивается округленное значение абсолютной погреш­ности. Если десятичная дробь в числовом значении результата измерений оканчивается нулями, то нули отбрасываются до того разряда, который соответствует разряду числового значения погрешности.

Пример. Погрешность измерений длины определяется с точностью до 0,1 мм. Результаты измерений записываются в следующем виде: 23,4 мм, 13,0 мм.

3.Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то остальные цифры числа не изменяются. Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются.

Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов больше 5 или равна 5, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу.

Пример. Точность измерений длины – 10 см. Результаты измерений округляются следующим образом: 364 см – 360 см, 366 см – 370 см, 36 м – 36,0 м, 36,12 м – 36,1 м, 36,15 м – 36,2 м.

4.Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру числа не изменяют, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечетная.

Пример.

Точность измерений длины – 10см. В этом случае 365см записывается как 360см, 375 см – 380см.

5.Округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним - двумя лишними знаками.

Пример.

Точность измерений длины моста – 0,5м. Схема пролетов: 11,2+15,7+11,2 м.

Неправильно: 11,0+15,5+11,0 = 37,5м;

Правильно: 11,2+15,7+11,2 = 38,1м ≈ 38,0м.

Суммирование погрешностей

В общем случае погрешность измерений образуется по совокупности причин и представляет собой результат суммирования нескольких ее составляющих.

Правила суммирования погрешностей, составляющих результирующую погрешность, должны учитывать характер каждой из них и вероятность их сочетания. Практические правила суммирования состоят из следующих расчетных процедур.

1) Все суммируемые погрешности, так же как и результирующая, представляются как случайные величины. Суммирование заключается в определении параметров распределения результирующей погрешности.

2) Все суммируемые составляющие необходимо разделить на аддитивные и мультипликативные.

3) Для каждой составляющей погрешности следует вычислить параметры ее распределения: среднее значение и стандарт.

Для мультипликативных погрешностей эти параметры определяются в начале и конце диапазона измерений.

4) Необходимо учесть корреляционные связи между составляющими погрешностями и по определенным критериям, выделить группы сильно коррелированных между собой погрешностей, для которых принять коэффициент корреляции – 1, а также группы слабо коррелированных погрешностей, в которых корреляцию не учитывать.

5) Для определения суммарной погрешности и параметров ее распределения при наличии мультипликативных погрешностей эти параметры вычисляют для начального и конечного значений измеряемой величины, а их промежуточные значения определяют по интерполяции.

6) Параметры распределения результирующей погрешности Z определяются по правилам суммирования случайных величин на начало и конец измерений по следующим формулам.

Средняя величина (алгебраическая сумма):

 

. (2.2)

 

Стандарт для сильно коррелированных между собой погрешностей:

.. (2.3)

 

Стандарт для слабо коррелированных между собой погрешностей:

, (2.4)

 

где m – число суммируемых погрешностей.

 

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение погрешности измерений.

2. Объясните различия погрешности по характеру их проявления.

3. Назовите возможные причины погрешностей измерения.

4. Назовите правила округления погрешностей. Приведите примеры.

5. Как суммируются сильно и слабо коррелированные составляющие погрешности?

Систематические погрешности

Систематическая погрешность представляет собой функцию влияния на результаты измерений определенных факторов, состав которых зависит от физических, конструктивных и технологических особенностей средств измерений, условий их применения, а также индивидуальных качеств наблюдателя.

Пример.

При измерении профиля проезжей части моста могут возникнуть систематические погрешности вследствие негоризонтальности трубы нивелира, неучета влияния солнечной радиации и т.п.