Некоторые характеристики движения по окружности

Угловая скорость обозначается греческой буквой омега (w), она говорит о том, на какой угол поворачивается тело за единицу времени. Это величина дуги в градусной мере, пройденной телом за некоторое время. Заметьте, если твердое тело вращается, то угловая скорость для любых точек на этом теле будет величиной постоянной. Ближе точка располагается к центру вращения или дальше – это не важно, т.е. от радиуса не зависит.

Единицей измерения в этом случае будет либо градус в секунду, либо радиан в секунду. Часто слово «радиан» не пишут, а пишут просто с^-1. Для примера найдем, чему равна угловая скорость Земли. Земля делает полный поворот на 360° за 24 ч, и в этом случае можно говорить о том, что угловая скорость равна .

Также обратите внимание на взаимосвязь угловой скорости и линейной скорости:

V = w ^. R.

Необходимо отметить, что движение по окружности с постоянной скоростью – это частный случай движения. Однако движение по окружности может быть и неравномерным. Скорость может изменяться не только по направлению и оставаться одинаковой по модулю, но и меняться по своему значению, т.е., кроме изменения направления, существует еще и изменение модуля скорости. В этом случае мы говорим о так называемом ускоренном движении по окружности.

Тема: Законы взаимодействия и движения тел

Урок 22. Решение задач

Ерюткин Евгений Сергеевич

 

Урок посвящен решению задач

Задача 1

Задача 1 посвящена закону всемирного тяготения.

Условие: определите высоту, на которой сила тяжести будет в 3 раза меньшей, чем на поверхности Земли.

Дано: СИ Решение:

R = 6400 км 6400 ^. 10³ м

______________

h -? Ответ: h»4685 км.

В условии указано, что сила тяжести должна быть в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли. Сила F₁ – это сила притяжения тела к Земле на поверхности Земли, а сила F₂ на некоторой высоте.

Поскольку задача относится к закону всемирного тяготения, давайте этот закон запишем, но сделаем это два раза. Первый раз – для тела, которое находится на поверхности Земли, а второй раз – для тела, которое находится на некоторой высоте относительно поверхности Земли. Итак, F₁ – это сила тяготения, или сила притяжения тела, масса, которого m к самой Земле. Сам закон запишется следующим образом: .

Запишем теперь формулу для силы F₂, которая соответствует силе взаимодействия между малым телом m и массой Земли, телом массы Земли на некоторой высоте h: .

Из условия известно, что F₁ и F₂ связаны зависимостью: . Теперь объединяем эти два уравнения в систему и делим уравнения друг на друга.

Чтобы сделать следующий шаг, понадобится извлечь квадратный корень из правой и из левой частей.

Окончательный ответ получаем в формуле, которая определяет высоту: .

Если теперь подставить все известные значения, то получим ответ: h»4685 км.

Эта задача хорошо показывает возможность определения высоты, на которую можно запустить спутник с таким расчетом, чтобы на него действовала определенного значения сила тяжести. Это является важным условием при исследовании движения спутников.

Задача 2

Задача 2 посвящена криволинейному движению.

Условие: велосипедист движется по закруглению дороги, радиус закругления дороги 50 м, скорость велосипедиста 36 км/ч. Определите центростремительное ускорение велосипедиста, проходящего закругление дороги, и определите силу трения, которая действует на велосипед.

Дано: СИ Решение:

R = 50 м

V = 36 км/ч 10 м/с F_ТР = F_Ц; F_ТР = F_Ц = m ^. а_Ц; F_ТР = 60 ^. 2 =120 H

m = 60 кг

а_Ц -? Ответ: а_Ц = 2 м/с².

F -? F_ТР = 120 H

Найти требуется а_Ц и силу трения, которая действует на велосипедиста. Для этого в первую очередь 36 км/час переведем в систему СИ – 10 м/с. Обратимся к решению. Вспомните, что центростремительное ускорение определяется как отношение квадрата скорости к радиусу закругления дороги: .

В этом случае можно записать .

Вот это и есть центростремительное ускорение. Теперь можем говорить, раз у нас есть центростремительное ускорение, т.е. действует сила, направленная к центру окружности, значит, действует в противовес другая сила – ведь тело движется по окружности постоянного радиуса без проскальзывания и пробуксовки. Это сила трения между колесами и дорогой. В этом случае обязательно мы должны отметить, что F_ТР=F_Ц. По второму закону Ньютона F_ТР=F_Ц=m ^. а_Ц. Итак, F_ТР =60 ^. 2 =120 H. Ответ;а_Ц = 2 м/с² и F_ТР = 120 H.

Отметим, что если бы сила трения и центростремительная сила были неравны, то мы бы наблюдали либо проскальзывание, либо пробуксовывание велосипеда по этому закруглению, что нарушило бы его равновесие.

Задача 3

Задача 3.

Итак, переходим к заключительной, третьей задаче, которая будет посвящена прямолинейному движению.

Условие: определите начальную скорость тела, которое, двигаясь вертикально вверх, через 2 с после начала движения достигло скорости 5 м/с. Определите высоту, на которой окажется тело, когда скорость его станет равна 5 м/с.

Дано: Решение:

t = 2 c ; ;

V =5 м/с V=V₀ – g ^. t; 5 = V₀ – 10 ^. 2; ; ;

h -? Ответ: h = 30 м.

Начнем с начальной скорости. Посмотрите, мы запишем сначала полное уравнение скорости: . Вспомните, что ускорение свободного падения при решении задач мы принимаем равным . Теперь нам обязательно потребуется система отсчета.

 

Рис. 1. Система отсчета, выбранная для решения задачи

 

Система отсчета связана с поверхностью Земли. Теперь совместим уравнение, уравнение скорости с выбранной системой отсчета. Обратите внимание, относительно этой системы отсчета начальная скорость направлена вертикально вверх, совпадает по направлению с осью у.

Скорость через 2 с, которая определена как 5 м/с, тоже направлена вертикально вверх – . Ускорение свободного падения направлено вертикально вниз. Здесь указанной стрелочкой мы обозначили это ускорение. Дальше записываем уравнение: V=V₀ – g ^. t. Подставляя известные значения, имеем: 5 = V₀ – 10 ^. 2.

Отсюда получаем, что начальная скорость, т.е. скорость, с которой тело бросили вертикально вверх, будет равна . Таким образом, используя уравнение скорости и систему отсчета, мы определили начальную скорость. Следующий шаг: определение высоты.

Запишем уравнение движения в общем виде: .

Мы уже сказали, что начальная скорость направлена вертикально вверх, она будет со знаком плюс. Ускорение свободного падения направлено относительно оси вниз и будет со знаком минус. В этом случае мы получаем высоту, длину перемещения вдоль прямой – это . Ответ получается равный h = 30 м.

Ответ: h = 30 м.