Тема 8. Статистична обробка результатів

Педагогічного дослідження

План

Основні поняття математичної статистики.

Основні типи вимірювань у педагогічних дослідженнях.

Кореляція.

Статистична обробка результатів педагогічного експерименту.

Відбір контрольних і експериментальних груп.

Статистичні критерії.

Загальні підходи до вибору методів перевірки ста-тистичних гіпотез.

8.4.4. Приклад перевірки достовірності результатів педа-гогічного експерименту за критерієм Стьюдента ( -критерій).

8.4.5. Приклад перевірки однорідності незалежних вибірок за критерієм (Хі – квадрат).

Приклад перевірки однорідності незалежних вибірок за критерієм Вілконсона-Манна-Уітні.

Основні поняття математичної статистики

При аналізі багатьох педагогічних явищ важливу роль відіграють середні величини, які дозволяють глибше зрозуміти особливості об’єкта спостереження. У математичній статистиці є декілька видів середніх величин: середнє арифметичне, медіана, мода і т.ін. Крім того, існує декілька показників коливання (міри розсіювання): варіа-ційний розмах, середнє квадратичне відхилення, середнє абсолютне відхилення, дисперсія тощо.

Середнє арифметичне є абстрактною типовою характеристикою цієї сукупності. Воно згладжує, нівелює випадкові й невипадкові коливання, вплив індивідуальних особливостей та дозволяє подати однією величиною деяку загальну характеристику реальної сукупності одиниць. Середнє арифметичне вираховується як частина від поділу суми величин на їх число і вираховується за формулою:

, (1)

де – середнє арифметичне;

– результати окремих спостережень, значення ознаки;

– кількість спостережень;

– сума результатів усіх спостережень.

Приклад: вирахуємо середнє число годин, які щоденно витра-чаються студентами на самостійну роботу (у вибірці із 20 осіб) (табл. 8.1).

Таблиця 8.1

Витрата часу студентами групи А-2 на самостійну роботу (год.)

 

i
t	2,2	3,2	1,9	3,0	2,8	4,0	1,9	2,3	2,9	3,3	2,0	3,7	1,7	2,4	3,3	1,8	1,7	3,4	3,2	1,9

 

Знаходимо загальну суму часу, який витрачають опитані на самостійну роботу:

год.

За формулою (1) знаходимо:

При обрахуванні середнього арифметичного для згрупованих даних формула (1) має вигляд:

, (2),

де – частота для і -го значення ознаки.

 

 

Процедура знаходження середнього за згрупованими даними виконується за схемою, яка наведена у табл.8.2.

 

Таблиця 8.2

 

Інтервал	Середина інтервалу ()	Частота (відносна)	Добуток
Послідовно записуються усі інтервали

 

Приклад. Наведені дані щодо щоденної витрати часу на самостійну роботу групою студентів із 20 осіб згрупуємо й продемонструємо у табл. 8.3.

 

Таблиця 8.3

 

Інтервал, год.	Середина інтервалу	Частота (відносна)	Добуток
1 – 2	1,5		10,5
2 – 3	2,5		12,5
3 – 4	3,5

 

Звідси вираховуємо:

год.

 

Медіаною називається значення досліджуваної ознаки, зліва і справа від якої знаходиться однакова кількість елементів вибірки за шкалою, побудованою за зростанням чи зменшенням чисел. Місце розташування медіани визначається за формулою:

 

(3)

 

Якщо в ряду парне число членів (), то медіана дорівнює середньому арифметичному з двох серединних значень ознаки; при непарному числі членів () медіанним буде значення ознаки у () об’єкта.

Наприклад, у вибірці з 10 осіб респонденти проранжовані за пе-дагогічним стажем роботи на кафедрі (табл. 8.4).

Таблиця 8.4

 

Дані щодо педагогічного стажу викладачів кафедри

 

Ранг викладача
Педагогічний стаж

 

Знаходимо місце медіани: (серединні значення 5 і 6).

Звідси медіана дорівнює:

За результатами визначення медіани можна зробити висновок, що більше половини викладачів кафедри мають стаж 6,5 років.

Варто додати, що:

- медіана ділить впорядкований варіаційний ряд на дві рівні по чисельності групи;

- квартилі ділять ряд розподілу на 4 рівні частини;

- процентилі ділять множину на 100 частин з рівним числом спостережень у кожній;

- децилі ділять множину спостережень на 10 рівних частин;

Квантилі (квартилі, процентилі, децилі) легко вираховуються за розподілом накопичених частот.

Модою у статистиці називають значення ознаки, яке найчастіше зустрічається і з яким найбільш вірогідно можна зустрітися в серії зареєстрованих спостережень. Іншими словами, – це типове значення ознаки, яке найчастіше зустрічається серед інших значень. Мода від-повідає класу з максимальною частотою. Цей клас називають модальним значенням.

У дискретному ряді мода () – це значення з найбільшою частотою. В інтервальному ряді (з рівними інтервалами) модальним є клас з найбільшим числом спостережень. При цьому значення моди знаходиться в його межах і вираховується за формулою:

, (4)

де – нижня границя (межа) модального інтервалу;

– величина інтервалу;

– частота інтервалу, який знаходиться попереду;

– частота інтервалу, наступного за модальним;

– частота модального класу.

 

Приклад. На питання анкети: «Вкажіть ступінь володіння іно-земною мовою» відповіді 598 студентів першого курсу інженерних спеціальностей були такими:

- володію вільно – 31;

- володію достатньо для спілкування – 60;

- володію, але відчуваю труднощі при спілкуванні – 278;

- розумію важко – 195;

- не володію – 34.

Цілком очевидно, що типовим значенням у наведеному прикладі є «володію, але відчуваю труднощі при спілкуванні», яке і буде модальним. Таким чином, мода дорівнює 278.

До основних недоліків моди як виду середніх величин варто віднести:

- неможливість виконувати над модою алгебраїчні дії;

- залежність її величини від інтервалу групування;

- можливість існування в ряді розподілу декількох модальних значень ознаки.

Для характеристики рядів розподілу є недостатнім мати лише середні величини даної ознаки, бо два ряди, наприклад, можуть мати однакові середні арифметичні, але ступінь концентрації (чи «розки-дання») значень ознак навкруг середньої буде зовсім іншим. Характе-ристикою такого розкидання є показники розсіювання – дисперсія, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.

Дисперсією називають величину, рівну середньому значенню квад-рата відхилень окремих значень ознак від середньої арифметичної.

Дисперсія вираховується за формулою:

(5)

 

Послідовність вирахування дисперсії така:

- визначення відхилення від середнього значення;

- вирахування квадрата зазначеного відхилення;

- знаходження суми квадратів відхилення і середнього значення квадрата відхилень (табл. 8.5).

 

Приклад. За результатами виконання контрольної роботи сту-денти групи отримали такі оцінки: «відмінно» – 4 особи; «добре» – 8 осіб; «задовільно» – 5 осіб; «незадовільно» – 5 осіб. Для вирахування дисперсії оцінок студентів слід скласти таблицю (табл. 8.5).

 

Таблиця 8.5

№ п/п	Оцінка	Відхилення від середнього	Квадрат відхилення
		–1,5	2,25
		1,5	2,25
		–0,5	0,25
		0,5	0,25
		–1,5	2,25
		0,5	0,25
		1,5	2,25
		–0,5	0,25
		0,5	0,25
		0,5	0,25
		–1,5	2,25
		0,5	0,25
		–0,5	0,25
		1,5	2,25
		0,5	0,25
		–1,5	2,25
		0,5	0,25
		–0,5	0,25
		0,5	0,25
		1,5	2,25
		–0,5	0,25
		–1,5	2,25

 

Цілком очевидно, що величина дисперсії не дозволяє спосте-рігачеві безпосередньо зробити певні узагальнення щодо розкиду досліджуваної змінної. Величиною, яка безпосередньо пов’язана зі змістовими характеристиками змінної, є середнє квадратичне відхилення. Середнє квадратичне відхилення підтверджує типовість і показовість середньої арифметичної та відображає міру коливання числових значень ознаки. Воно дорівнює кореню квадратному із дисперсії та визначається за формулою:

, (6)

де – дисперсія.

 

 

У попередньому прикладі щодо результатів виконання студентами контрольної роботи дисперсія дорівнює 1,27. Тоді середнє квадратичне відхилення буде:

.

 

Отримані дані можна інтерпретувати таким чином: при середній оцінці 3,5 виконання контрольної роботи всі інші студенти групи мають оцінку, яка в середньому відхиляється від 3,5 на 1,13.

Середнє квадратичне відхилення є мірою абсолютного коливання ознаки і завжди виражається у тих самих одиницях вимірювання, що й ознака. Це не дозволяє зіставити між собою середні відхилення різних ознак, а також однієї й тієї ж ознаки у різних сукупностях. Щоб мати таку можливість, слід середні відхилення виразити у від-сотках до середнього арифметичного – у вигляді відносних величин. Відношення середнього квадратичного відхилення до середнього арифметичного називають коефіцієнтом варіації ():

(7)

Природно, з двох порівнювальних рядів той має більший розкид, у якого коефіцієнт варіації більший.