Меры вариации для сгруппированных данных. Правило сложения дисперсий

 

Вариация признаков, как правило, обусловлена влиянием различных факторов. Если совокупность разбить на группы по факторному признаку, то это окажет определенное влияние на значение вариации признака в группах. Выявить долю вариации, определяемую теми или иными факторами, можно разделяя всю совокупность на группы по фактору, влияние которого исследуется. Чаще всего для этих целей используются показатели вариации для сгруппированных данных. В этом случае выделяют три вида дисперсий: Общую дисперсию; внутригрупповую дисперсию, межгрупповую дисперсию.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов. Внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы, а межгрупповая дисперсия измеряет вариацию групповых средних относительно общей средней.

Рассмотрим простейший случай, когда исходная совокупность делится на однородных групп по одному признаку-фактору.

Допустим, имеется распределение исходной совокупности, представленное в следующей таблице:

Значение признака	Число	единиц	в -й	группе	Итого
			…	m
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…
Итого			…

 

Сначала вычислим частных средних, то есть среднее значение признака в каждой группе:

,

,

…

.

На основе частных средних определяем общую среднюю по формуле

,

где .

Общая дисперсия совокупности

 

Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет всех условий (факторов), действующих в совокупности.

Вариацию между группами за счет признака-фактора, положенного в основу группировки, отражает межгрупповая дисперсия, которая исчисляется как отклонение групповой средней от общей средней:

.

Вариацию внутри каждой группы изучаемой совокупности отражает частная (внутригрупповая) групповая дисперсия, которая исчисляется как средний квадрат отклонений значений признака от частной средней

…….

В общем виде частную дисперсию запишем так:

где - частоты от в каждой группе.

Так как изучаемая совокупность разбита на несколько групп, то для всей совокупности внутригрупповую вариацию будет выражать внутригрупповая дисперсия, которая рассчитывается как средняя арифметическая из групповых дисперсий:

Существует закон, связывающий три вида дисперсии:

Общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий:

,

 

Логика этого закона проста: общая дисперсия, возникающая под воздействием всех факторов, формируется из дисперсии, возникающей за счет фактора группировки и дисперсии, возникающей под воздействием всех прочих факторов.

С помощью закона сложения дисперсий можно оценить удельный вес факторов, лежащих в основе группировки, во всей совокупности факторов, воздействующих на результативный признак. Для этого применяется коэффициент детерминации, который рассчитывается как отношение факторной дисперсии к общей дисперсии результативного признака:

Корень квадратный из коэффициента детерминации называют эмпирическим корреляционным отношением:

.

Эмпирическое корреляционное отношение показывает какую часть общей колеблемости результативного признака определяет изучаемый фактор, то есть характеризует влияние группировочного признака на результативный признак. Этот показатель принимает значения в интервале [0,1]. Если связь отсутствует, то h = 0. В этом случае дисперсия групповых средних равна нулю (d² = 0), то есть все групповые средние равны между собой и межгрупповой вариации нет. Это означает, что группировочный признак не влияет на вариацию исследуемого признака х. Если связь функциональная, то h = 1. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии (d² = s²), то есть не будет внутригрупповой дисперсии. Это означает, что группировочный признак полностью определяет вариацию изучаемого признака а влияние прочих факторных признаков равно нулю. Промежуточные значения h оцениваются по степени их близости к предельным.