Методи розв’язування головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда

3.6.1. Розв’язування головних геодезичних задач методом із середніми аргументами (формули Гаусса)

Пряма геодезична задача

Нехай на рис.3.7 крива Q₁Q₂ є геодезичною лінією між початковою точкою Q₁ і кінцевою Q₂.

 

 

Рис. 3.7

 

Візьмемо точку Q_o, розташовану на середині геодезичної лінії Q₁Q₂. Застосувавши

формули (3.32) до кожної частини геодезичної лінії, отримаємо для широти

 

(3.56)

Віднявши в (3.56) перше рівняння від другого знаходимо

Для різниць довгот та азимутів отримаємо аналогічно:

де нульовий індекс при похідних показує, що вони повинні обчислюватись за B_o і A_o. Отримані вирази мають перевагу перед формулами (3.32): члени з парними степенями відсутні, а в інших членах коефіцієнти при них зменшились в декілька раз. Проте координати точки Q_o(B_o, L_o, A_o), яка розташована посередині геодезичної лінії Q₁Q₂, не будуть рівні середньому значенню координат цих точок (B_m, L_m,, A_m).

Залежності між цими координатами можна отримати, якщо додати рівняння (3.56) і поділити на два:

(3.57)

Аналогічно

 

.

 

.

 

Як видно, ці залежності – малі величини другого порядку.

Приведені вище формули в загальному виді розв’язують поставлену задачу. Але оскільки ставиться за мету отримати різниці координат у функції B_m і A_m, то потрібно встановити залежність між вказаними похідними. Вона виражається з допомогою ряда Тейлора:

.

Часткові похідні, що входять в дану формулу дорівнюють:

 

З похибкою на малі величини четвертого порядку, остаточно отримаємо

 

(3.58)

 

а з похибкою на величину третього порядку можна записати:

 

(3.59)

 

Використавши вирази (3.59) для перетворення поправочних членів у формулі (3.58) і не приймаючи до уваги члени і менше, отримаємо для різниці широт остаточно:

 

(3.60)

 

Для різниці довгот та азимутів формули отримуються аналогічним чином. Запишемо ці формули в кінцевому виді

 

(3.61)

(3.62)

 

Наведені скорочені формули для різниць широт, довгот та азимутів відрізняються від повних формул типу (3.58), які точні до величин четвертого порядку включно, лише на відкинуті малі величини порядку .

В формулах (3.60)-(3.62) величини b,l,a – функції середньої широти B_m і середнього азимута A_m, які невідомі. Невідомі також і аргументи b і l в поправочних членах вказаних формул. Тому пряма геодезична задача розвязується методом послідовних наближень наступним чином.

Приймаємо b і a рівними нулю, тобто

 

і з цими значеннями обчислюємо в першому наближенні b^І,l^І,a^І, а потім знаходимо

 

(3.63)

З цими наближеними значеннями знаходимо нові, більш точні значення B_m і A_m та повторюємо обчислення b і a, а також l. Так поступають до тих пір, поки результати обчислень із двох суміжних наближень не стануть одинаковими.

 

Обернена геодезична задача.

При відомих значеннях ми можемо зразу знайти

 

 

Для знаходження невідомих використовують отримані вище формули для прямої геодезичної задачі. При цьому для обчислення достатньо знайти та . Тоді отримаємо

 

 

Для знаходження A_m представимо формули (3.60) та (3.61) у виді

 

(3.64)

Розділивши ці два рівняння, отримаємо

 

(3.65)

Величину знаходимо на основі формули (3.62)

 

(3.66)

 

Довжину геодезичної лінії легко знаходимо із рівнянь (3.64)

 

(3.67)

 

3.6.2. Розв’язування прямої геодезичної задачі методом допоміжної точки (формули Шрейбера)

 

Нехай на рис.3.8 PQ₁Q₂ – сфероїдний полярний трикутник, який потрібно розвязати за такими даними: широтою B₁ і довготою L₁, довжиною s геодезичної лінії, що з'єднує точки Q₁ i Q₂, а також азимутом A₁ цієї лінії в точці Q₁ (прямий азимут).

 

 

 

 

Рис. 3.8

 

Розділимо трикутник (рис.3.8.а) на два сфероїдних прямокутних трикутника геодезичною лінією Q₂С, яка перпендикулярна меридіану PQ₁ початкової точки. Широту точки С позначимо через , а різницю широт - через d.

Вивід формул Шрейбера буде складатись із наступних етапів.

Із прямокутного сфероїдного трикутника Q₁С Q₂ за даними A₁ і s визначають катети x і y, використовуючи теорему Лежандра та сферичний надлишок цього трикутника. На рис. 3.8.б представлений трикутник Q₁’Q₂’C’, який відповідає сфероїдному трикутнику Q₁ С Q₂.

Застосовуючи формули розкладу в ряд (3.32) можна розв’язати пряму геодезичну задачу для точок Q₁ і С. Поскільки для цієї пари точок A₁=0 і s=x, то все зводиться тільки до визначення різниці широт b.

За тими ж формулами розв’язують пряму геодезичну задачу з точки С, широта якої тепер вже відома, на точку Q₂, тобто при азимуті A₁=90^o та відстані s=y.

Отже, замість прямого застосування рядів (3.32) до точок Q₁ і Q₂ їх застосовують послідовно до точок Q₁ і С, а потім до точок С і Q₂, тобто у випадках, коли A=0^o і A=90^o.

В результаті отримаємо: та .

Сума всіх кутів навколо точки Q₂ дасть

 

,

звідки

. (3.68)

 

Розглянемо детальніше вивід основних формул. Із плоского трикутника Q₁’С’Q₂’, використовуючи теорему Лежандра, за формулою синусів отримаємо

 

(3.69)

де сферичний надлишок може бути достатньо точно обчислений за формулою

 

(3.70)

 

Для визначення широти B_o, використаємо першу формулу системи (3.32), в якій при підстановці похідних (до третього порядку) врахуємо, що :

 

. (3.71)

 

Аналогічно поступають і при визначенні широти B₂, тільки в цьому випадку вже :

 

. (3.72)

 

Застосуємо тепер другу і третю формули системи (3.32) для визначення приростів довготи l та азимута a відповідно. При цьому враховуємо, що :

 

(3.73)

Відповідно

 

(3.74)