Короткі історичні відомості.

Види геодезичних задач

Виміряні на фізичній поверхні Землі кутові та лінійні величини після редукування їх на математично правильну поверхню, якою слугує поверхня земного еліпсоїда, використовуються в подальшому при розв'язуванні різноманітних геодезичних задач. Основними і найбільш типовими задачами вищої геодезії є: розв'язування трикутників і обчислення координат пунктів та азимутів напрямів, що дозволяють визначати взаємне положення різних точок на еліпсоїді і на фізичній поверхні Землі. Це, переважно, і є кінцевою метою всіх геодезичних робіт.

Остання задача носить назву головної задачі вищої геодезії або головної геодезичної задачі. Отже, головна геодезична задача, в її класичній постановці, безпосередньо зв'язана з методом тріангуляції і розв'язується вона в геодезичних координатах B,L на поверхні прийнятого для опрацювання геодезичних вимірювань еліпсоїда, і на яку пункти фізичної поверхні Землі проектуються нормалями. Суть поняття, що визначається словами "головна геодезична задача" зводиться до наступного. На поверхні земного еліпсоїда маємо точки Q₁ i Q₂. Положення точки Q₁ задано її геодезичними координатами: широтою B₁ і довготою L₁. Крім того відома довжина s геодезичної лінії, що з'єднує точки Q₁ i Q₂, а також азимут A₁ цієї лінії в точці Q₁ (прямий азимут). Вимагається визначити широту B₂ і довготу L₂ точки Q₂, а також азимут A₂ геодезичної лінії Q₂ Q₁ в точці Q₂ (обернений азимут).

Описана задача називається прямою геодезичною задачею.

Якщо заданими величинами є координати B₁,L₁ i B₂,,L₂ точок Q₁ i Q₂, а величинами, що визначаються - азимути A₁, A₂ і довжина s геодезичної лінії, то таку задачу називають оберненою геодезичною задачею.

Рисунок 3.1 іллюструє сказане вище. На ньому: Р - полюс еліпсоїда, лінії Q₁ P i Q₂ P - меридіани точок Q₁ i Q₂.

 

 

Рис. 3.1

 

Рис. 3.1

 

 

Розв’язування вказаних задач ускладнюється тим, що виконувати їх потрібно на поверхні, для якої неможна привести кінцевих формул, аналогічних формулам, що використовуються при розв'язуванні подібних задач на поверхні сфери або на площині. При розв’язуванні головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда необхідно враховувати кривину цієї поверхні, що змінюється і залежність її від широти, а також досить високі вимоги, щодо точності результатів обчислень. Хоча математичні методи забезпечують виконання обчислень з будь-якою практично необхідною точністю, проте висока точність, як правило, вимагає досить складних підходів до методів розв'язування головних геодезичних задач.

Лінійні розміри кривих на еліпсоїді одинакової дугової величини також залежать від широти. Тому до геометричних фігур, утворених цими кривими, не можуть бути застосовані звичайні правила рівності їх елементів. Так, наприклад, трикутники з рівними сторонами, але розташовані на різних широтах, будуть мати нерівні відповідно розташовані кути; аналогічно, трикутники, що мають рівні кути і по одній одинаковій стороні, будуть мати нерівні дві інші сторони, якщо вони розташовані не на одній широті.

Проте розв’язування задач на еліпсоїді полегшується тим, що земний еліпсоїд мало відрізняється від сфери, тому трикутники на його поверхні можуть з незначними для практики похибками замінюватись сферичними і їх розв'язування виконується за формулами сферичної тригонометрії.

Використання сфери є дуже вигідним для наближеного розв'язування головної геодезичної задачі, коли задана точність не викликає необхідності введення поправок за перехід з поверхні еліпсоїда. Така задача може виникнути при використанні радіогеодезичних методів вимірювань, в навігації, при інженерно-геодезичних вишукуваннях і інших аналогічних задачах. Радіус сфери в таких випадках приймається рівним або середньому радіусу кривини еліпсоїда для області робіт або радіусу такої сфери, площа поверхні якої рівна площі поверхні земного еліпсоїда.

Розв’язування геодезичних задач на сфері, яке базується на методах і формулах сферичної тригонометрії, може використовуватись і як перше наближення при їх розв'язування на поверхні еліпсоїда (про це буде мова у розділі 3.6.) або як проміжний етап при зображенні за певним законом еліпсоїда на сфері і використання останнього для розв’язування геодезичних задач на еліпсоїді.

При опрацюванні просторових геодезичних мереж (без проектування їх на поверхню еліпсоїда) може виникнути потреба в розв’язуванні головної геодезичної задачі між точками в просторі, особливо часто такі задачі розв’язуються при застосуванні супутникових методів визначення положення пунктів.

Відзначимо, що крім головної геодезичної задачі, класична геодезія має в своєму арсеналі також і інші види геодезичних задач: азимутальна і лінійна засічки, гіперболічна засічка тощо. Конкретний тип засічок визначається в залежності від виду кутових (прямі азимути, різниці прямих азимутів з двох пунктів, обернені азимути, різниці обернених азимутів) чи лінійних (відстані, різниці відстаней, сума відстаней, відношення відстаней) вимірювань. Проте в даний час для визначення координат пунктів кутові і лінійні засічки дуже рідко використовуються, тому основна увага буде зосереджена на розв’язуванні головної геодезичної задачі.

 

Сферичний надлишок

Із сферичної тригонометрії відомо, що сферичний надлишок сферичного трикутника (рис.3.2) рівний площі цього трикутника, якщо радіус сфери, на якій він розташований, . При сферичний надлишок визначається формулою

 

. (3.1)

 

Для практичних обчислень сферичного трикутника будь-якого розміру сферична тригонометрія надає формули різного виду. Серед них:

 

Рис. 3.2

 

В малих сфероїдних трикутниках і , тому тригонометричні функції малих аргументів можна розкласти в ряди із збереженням тільки перших членів розкладів:

 

В результаті отримаємо наступні формули:

 

(3.2)

 

Для типових довжин сторін тріангуляції формули (3.2) можна використовувати без членів в дужках

 

(3.3)

 

 

У випадку вимірювання всіх кутів ці формули можна перетворити так, щоб сферичний надлишок був функцією лише однієї сторони

 

(3.4)

 

В першокласних геодезичних мережах сферичний надлишок обчислюється з точністю до .

Для обчислення сферичного надлишку в кожному трикутнику, крім кутів, повинні бути відомі також довжини сторін. Вияснимо, з якою точністю повинні бути відомі довжини сторін і кути, щоб обчислений за ними сферичний надлишок мав похибку не більше .

Для рівностороннього трикутника на основі формул (3.4) можемо записати

 

 

Продиференціювавши дану формулу за змінними та , отримаємо

 

 

Прийнявши, що та , знайдемо допустимі похибки сторін і кутів для різних довжин сторін малого сферичного трикутника (табл. 3.1). В табл. 3.1 приведено також можливі значення сферичного надлишку для рівносторонніх трикутників.

Одним із основних застосувань сферичного надлишку є виявлення нев’язки у трикутнику тріангуляції

 

(3.5)

Таблиця 3.1

км	м

 

 

Рис.3.3

Позначивши

 

 

і, крім того

 

 

напишемо

 

 

Або остаточно

 

(3.10)

 

і, аналогічно, для другої сторони

 

. (3.11)

 

З цих формул видно, що головні члени представляють собою розв'язування сферичного трикутника як плоского, причому кути в них є сферичними. Поправочні члени називають аддитаментами. Тому і розв'язування сферичного трикутника за формулами (3.10), (3.11) називають способом аддитаментів. Строго кажучи, аддитаментами називалися малі поправки до логарифму головного члена, коли формули виводились із застосуванням логарифмів. Хоча логарифмічні методи втратили своє значення і на практиці не застосовуються, проте в назвах окремих способів, і в тому числі при розв’язуванні сферичних трикутників, збереглися первісні терміни.

Отже, якщо від вихідної сторони відняти її аддитамент і розв’язати трикутник зі сферичними кутами за формулами плоскої тригонометрії, то, додавши до знайдених довжин сторін їхні аддитаменти, отримаємо довжини сторін сферичного трикутника.

Точність розв’язування малих сферичних трикутників способом аддитаментів є аналогічною, як і для розв’язування їх за теоремою Лежандра.

 

г) за виміряними сторонами

 

У випадку, коли в геодезичній мережі вимірюються лише сторони трикутників, виникає потреба обчислення горизонтальних кутів, які в подальшому можуть мати окреме застосування, наприклад, для передачі геодезичного азимута від однієї сторони до іншої.

Порядок обчислень при цьому буде наступний. Виміряні між пунктами прямолінійні відстані редукують на поверхню еліпсоїда, згідно теорії редукцій геодезичних вимірювань з фізичної поверхні Землі на поверхню еліпсоїда.

За знайденими таким чином сторонами сферичного трикутника обчислюють плоскі кути (див. рис.3.3), використовуючи наступні формули плоскої тригонометрії:

 

 

Якщо довжини сторін не перевищують 100 км, то достатньо обчислити сферичний надлишок за формулами (3.2), а потім одну третину його додати до кожного плоского кута згідно формули (3.7).

 

Рис.3.4

 

Пряма геодезична задача

Нехай задані географічні координати j₁, l₁ деякої точки Q₁ (рис. 3.4б), а також полярні координати s і a₁ другої точки Q₂. Вимагається за цими даними знайти географічні координати j₂, l₂ точки Q₂ і азимут a₂ з другої точки на першу. Таким чином, пряма геодезична задача полягає в перетворенні полярних координат в географічні (сферичні).

Обернена геодезична задача.

Нехай задані географічні координати j₁, l₁ і j₂, l₂ двох точок Q₁ і Q₂ (рис. 3.4б). Необхідно знайти найкоротшу відстань s (довжину дуги великого кола) між даними точками та азимути a₁ і a₂ з однієї точки на другу. Отже, обернена геодезична задача зводиться до перетворення географічних (сферичних) координат в полярні.

Розв’язування прямої і оберненої геодезичних задач на сфері, як легко можна побачити, представляє собою розв'язування полярного сферичного трикутника Q₁PQ₂ (рис.3.4б). В даному випадку розв'язування цього трикутника зводиться до визначення за двома сторонами і кутом між ними третьої сторони та прилеглих до неї кутів. Для розв'язування можна використати замкнуті формули сферичної тригонометрії:

 

Формули для розв’язування прямої геодезичної задачі:

 

(3.21)

 

де визначається за формулою (3.20). Різниця довгот Dl знайдеться, якщо розділити рівняння (3.12) на (3.17)

 

(3.22)

 

 

Шляхом ділення рівнянь (3.19) на (3.18) дістанемо формулу для оберненого азимута

 

(3.23)

 

 

Формули для розв’язування оберненої геодезичної задачі:

Для обчислення прямого азимута треба розділити рівняння (3.12) на (3.14)

 

(3.24)

 

Для обчислення оберненого азимута необхідно розділити рівняння (3.13) на (3.15)

 

(3.25)

 

 

Формулу для sins отримаємо, якщо помножимо рівняння (3.12) на sina₁, а рівняння (3.14) - на cosa₁ і додамо їх

 

(3.26)

 

Обчислення арксинуса можна замінити обчисленням арктангенса, використавши формулу зв’язку, аналогічну (3.21).

Із трикутника Q₁ PQ₂ (див. рис. 3.4.б) можна отримати і інші варіанти формул для розв’язування прямої та оберненої геодезичних задач.

 

б) на поверхні еліпсоїда

 

В практиці розв'язування головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда між точками 1 і 2 використовуються різноманітні лінії, що дають однозначне положення точки 2 по відношенню до точки 1. За такі лінії можна прийняти прямий нормальний переріз, геодезичну лінію, центральний переріз, хорду тощо. Використання кожної з вказаних ліній вносить свої особливості в методи розв’язування головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда. Ми будемо розглядати тільки ті методи, які базуються на використанні геодезичної лінії і найбільш часто зустрічаються в практиці.

Раніше нами були отримані диференційні рівняння, що характеризують зміну широти і довготи при переміщені вздовж будь-якої кривої на поверхні еліпсоїда

 

(3.27)

 

і зміна азимуту вздовж геодезичної лінії

 

(3.28)

 

Ці три рівняння представляють собою систему звичайних диференційних рівнянь першого порядку, що пов’язують чотири змінних - B, L, A, s, з яких довжина геодезичної лінії s прийнята як незалежна змінна. Проінтегрувавши їх по незалежній змінній s між точками Q₁ і Q₂,, отримаємо

 

(3.29)

 

Інтеграли (3.29) не виражаються в елементарних функціях, тому для їх наближеного розв'язування застосовують розклади в ряди або підінтегральних функцій або самих інтегралів з наступним почленним інтегруванням кожного ряду. При цьому для практичного застосування можливими є два варіанти їх розв'язування.

Оскільки розв'язування головних геодезичних задач на сфері виконується строго за формулами сферичної тригонометрії (див. п. 3.4.2.а), а форма земного еліпсоїда незначно відрізняється від сфери, доцільним є наступний порядок розв'язування:

· обчислення за заданими елементами на еліпсоїді відповідних елементів на сфері, тобто здійснити перехід з еліпсоїда на сферу;

· розв'язування головних геодезичних задач на сфері;

· обчислення за елементами на сфері відповідних елементів на еліпсоїді, тобто провести зворотній перехід зі сфери на еліпсоїд.

Перехід з еліпсоїда на сферу, котре ще називають геодезичним зображенням, базується на зображенні геодезичної лінії еліпсоїда на сфері у вигляді дуги великого кола, причому кожній точці геодезичної лінії відповідала б єдина точка дуги великого кола як її зображення. Така відповідність вважається встановленою, якщо знайдені математичні залежності між елементами B, L, A, s в кожній точці геодезичної лінії на еліпсоїді та елементами j, l, a, s у відповідній точці дуги великого кола на сфері.

В загальному вигляді ці залежності можна записати системою наступних диференційних рівнянь:

 

(3.30)

 

Очевидно, що аргументами функцій f_i будуть широта B, азимут A та квадрат ексцентриситета e², як аргумент радіусів кривини M і N еліпсоїда.

Проінтегрувавши диференційні рівняння (3.30) при певних умовах, можна отримати необхідні формули для взаємного переходу з еліпсоїда на сферу. Одним із найбільш відомих способів розв’язування головної геодезичної задачі вказаним вище шляхом є спосіб Бесселя.

Саме такий варіант є практичним втіленням так званого прямого шляху розв’язування головних геодезичних задач. Прямий шлях полягає в безпосередньому розв’язуванні сфероїдного трикутника Q₁PQ₂ (див. рис.3.1) за відомими двома сторонами і кутом між ними, а саме:

¨ в прямій геодезичній задачі відомі сторони Q₁P = 90⁰-B₁; Q₁Q₂=s і кут A₁, із розв'язування трикутника визначаються інші його елементи - різниця довгот , котра служить для визначення геодезичної довготи L₂, сторона Q₂P = 90⁰ - B₂ і кут A₂^’ (A₂ = 360⁰ - A₂^’);

¨ в оберненій геодезичній задачі відомі сторони Q₁P, Q₂P та різниця довгот ; із розв'язування трикутника визначається сторона s, кут A₁ і кут A₂^’, за яким обчислюють азимут A₂ = 360⁰ - A₂^’.

Сторони Q₁P і Q₂ P сфероїдного трикутника Q₁PQ₂ можуть досягати декількох тисяч кілометрів (наприклад, при розташуванні сторони Q₁Q₂ на широті 50⁰, вказані сторони будуть біля 4 000 км). Розв’язування таких значних за розмірами трикутників пов’язано з досить великими труднощами, адже при цьому немає кінцевих замкнутих формул, оскільки сторони сфероїдних трикутників, що представляють собою дуги меридіанів і паралелей та геодезичні лінії на поверхні еліпсоїда, виражаються еліптичними інтегралами. Ось чому на практиці, при розв’язуванні сфероїдних трикутників, їх спочатку проектують на допоміжну сферу, на котрій виконують розв'язування, після чого здійснюють обернений перехід на еліпсоїд.

У всіх способах прямого шляху розв’язування головних геодезичних задач сферична поверхня використовується як проміжна інстанція, причому вона може бути використана і при виводі формул, і в процесі практичних обчислень. Способи, що базуються на прямому шляху, придатні для розв’язування прямих та обернених геодезичних задач на поверхні земного еліпсоїда при будь-яких віддалях між двома точками і з будь-якою практично необхідною точністю.

Побічний шлях полягає у визначенні приростів (різниць) широт, довгот і азимутів у функції заданих величин, після чого за знайденими приростами визначаються остаточні величини.

Так, наприклад, при розв’язуванні прямої геодезичної задачі попередньо визначаються різниці:

 

(3.31)

 

В правих частинах цих рівнянь через f₁, f₂ і f₃ позначені функції, що виражаються розкладами приростів широти, довготи та азимута в ряди за степенями довжини s:

 

(3.32)

 

Після чого знаходять

 

(3.33)

 

Кількість членів розкладів утримується в залежності від довжини s: чим більша відстань, тим більше членів в рядах (3.32) при одній і тій же точності обчислень треба утримувати.

Це і є розглянутий нами вище другий варіант розв'язування рівнянь (3.29), який відомий ще як непрямий або побічний шлях розв’язування головних геодезичних задач.

Перші коефіцієнти цих рядів задані рівняннями (3.27) і (3.28). Інші коефіцієнти знаходять шляхом послідовного диференціювання перших коефіцієнтів за змінними B і A як складних функцій. Так, наприклад, загальний запис для похідних вищих порядків широти буде мати вигляд

 

 

Часткові похідні для другої похідної будуть наступними

 

 

Враховуючи відомі співвідношення та позначення (див. розділ 2):

 

 

отримаємо

 

 

звідки

 

 

Часткова похідна

 

 

З врахуванням отриманих виразів та формули (3.28) остаточно отримаємо

 

 

Аналогічним чином можна отримати і вирази для похідних вищих порядків. Приведемо без виводу вирази для похідних широти до п’ятого порядку включно

 

 

 

 

(3.34)

 

Вирази для похідних шостого і вище порядків мають досить складний вид і мало перспектив на їх застосування в практичних обчисленнях.

Приведемо ще вирази для аналогічних похідних довготи та азимута

 

 

 

 

.(3.35)

 

 

 

 

 

(3.36)

 

У виразах для похідних п’ятого порядку (3.34), (3.35), (3.36) знехтувано стисненням еліпсоїда (h=0) та прийнято, що M=N=R, де R - середній радіус еліпсоїда (земної кулі; можна прийняти R=a).

Практичні розрахунки показують, що з врахуванням похідних до третього порядку можна розв’язувати пряму геодезичну задачу на відстані до 40 км з точністю 0.0002” в широті та довготі і 0.001” в азимуті, а з врахуванням наведених похідних до п’ятого порядку і до 100 км з такою ж точністю.

Обчислення за цими формулами при “ручних” рахунках були надзвичайно громіздкими, тому застосовувались певні раціональні прийоми, що дозволяли перетворювати формули для їх широкого практичного застосування. Вкажемо лише на два з них, що мали широке практичне використання при опрацюванні геодезичних мереж 1-го класу: метод допоміжної точки Шрейбера та метод середніх аргументів Гаусса.

В зв’язку з широким впровадженням комп’ютерної техніки на даний час можна вважати, що найбільш оптимальним шляхом розв’язування головних геодезичних задач є використання чисельних методів інтегрування диференційних рівнянь (3.27) і (3.28). Одним із найефективніших чисельних методів для вказаної задачі є метод Рунге-Кутта четвертого порядку. Детальніше про цей шлях буде розглянуто в п.3.6.4.

 

в) в просторі

 

Для розв’язування головних геодезичних задач в просторі використовують системи просторових декартових (X, Y, Z), геодезичних (B, L, H) та топоцентричних горизонтальних - декартових (x’, y’,z’) та полярних (A, z, D) координат і зв’язки між ними (див. розділи 1 і 2).

Пряма геодезична задача формулюється наступним чином. Задані геодезичні координати B₁,L₁,H₁ початкової точки Q₁ і топоцентричні полярні координати z₁₂, A₁₂, D точки Q₂ відносно початкової точки Q₁. Необхідно визначити геодезичні координати B₂,L₂,H₂ точки Q₂.

Поставлену задачу розв’язують в такій послідовності:

а) за формулами зв’язку (2.32) обчислюють просторові декартові координати X₁,Y₁,Z₁ точки Q₁;

б) обчислюють елементи матриці перетворення координат A₁ за формулою (2.37).

в) використовуючи формули (2.34), обчислюють топоцентричні декартові координати x₂’,y₂’,z₂’;

г) за формулою (2.36) обчислюють декартові координати X₂,Y₂,Z₂ точки Q₂;

д) для переходу до геодезичних координат B₂,L₂,H₂ точки Q₂ використовують формули зв’язку (2.33).

Обернена геодезична задача. Задані геодезичні координати B,L,H двох точок Q₁ та Q₂. Необхідно знайти топоцентричні полярні координати z₁₂, A₁₂, D точки Q₂ відносно початкової точки Q₁.

Для розв’язування поставленої задачі можна застосувати таку схему:

а) від геодезичних координат B,L,H точок Q₁ та Q₂ за формулами (2.32) переходять до декартових X_i,Y_i,Z_i (де і=1,2);

б) обчислюють елементи транспонованої матриці перетворення координат за формулою

 

 

в) за формулою (2.38) обчислюють топоцентричні декартові координати x_i’,y_i’,z_i’ (і=1,2) точки Q₁ відносно точки Q₂ і навпаки.

г) топоцентричні полярні координати z₁₂, A₁₂, D точки Q₂ відносно початкової точки Q₁ і z₂₁, A₂₁, D точки Q₁ відносно точки Q₂ обчислюють за формулами (2.35).

Приведені вище схеми можна використовувати також і для розв’язування головної геодезичної задачі між точками на поверхні еліпсоїда. Для цього в цих формулах достатньо прийняти H₁=H₂= 0. Розв’язком при цьому, наприклад, в оберненій геодезичній задачі будуть азимути прямого і оберненого нормальних перерізів та довжина хорди цих перерізів.

 

Диференційні формули

 

Диференційні формули встановлюють залежність між малими (диференційними) змінами координат початкової і кінцевої точок відповідної лінії (дуги великого кола на сфері, геодезичної лінії на еліпсоїді, хорди в просторі), її довжини та азимутів.

Застосування диференційних формул пов’язано, в основному, з розв’язуванням задач з переобчислення геодезичних координат на поверхні земного еліпсоїда чи геоцентричних прямокутних в просторі у випадках зміни вихідних координат, а також аналогічних задач у випадку зміни (уточнення) розмірів відлікового еліпсоїда. Особливо це може стосуватися задач, що виникають при поєднанні пунктів, координати яких віднесені до референцних та загальноземного еліпсоїдів та визначені різними методами (класичними і супутниковими, наприклад).

Диференційні формули дозволяють значно скоротити обчислювальну роботу, яка вимагається при подібному переобчисленні вже врівноважених координат всіх опорних геодезичних пунктів. Це виявляється можливим тому, що повторне обчислення координат замінюється обчисленням незначних поправок до вже відомих координат пунктів. Такими формулами для обчислення поправок в координати та азимути напрямів і є диференційні формули.

Крім вищеназваних, диференційні формули можна використовувати і в інших задачах. Так в п. 3.6. буде наведена схема розв’язування оберненої геодезичної задачі, одним із важливих етапів якої є застосування диференційних формул для довжини геодезичної лінії та азимута цієї лінії.

 

Рис. 3.5

Всі наведені вище формули є наближеними, поскільки в них не прийняті до уваги диференціали другого і більш вищих порядків. Тому вони тим точніші, чим менші величини диференціалів незалежних змінних.

 

 

Рис.3.6

 

Диференціали da, da та dB, dL, dH, dx,dy,dz представляють собою поправки до старих значень розмірів еліпсоїда (a,a) і координат (B,L,H,X,Y,Z) довільної точки простору для отримання нових значень цих величин в другій системі геодезичних координат.

Часткові похідні в рівняннях (3.49) знаходимо шляхом диференціювання по відповідних змінних правих частин рівнянь (3.43). Раніше (див. п.3.5.2) нами вже отримано частину похідних (3.46). Аналогічним чином знаходять і інші похідні в (3.49).

Підставивши ці похідні в рівняння (3.49) та після відповідних перетворень, отримаємо остаточно

 

(3.50)

 

(3.51)

 

(3.52)

 

Умовою застосування вказаних диференційних формул є паралельність осей обертання та площин початкових меридіанів обох еліпсоїдів.

Отримані вище формули можуть використовуватись:

· для обчислення поправок в координати при переході до другої системи геодезичних координат (при відомих параметрах da, da, dx,dy,dz);

· для встановлення нової системи геодезичних координат (визначення вказаних п’яти невідомих параметрів).

Поправки da, da легко знайти, поскільки параметри еліпсоїдів, що застосовуються в практичних роботах, переважно відомі. Що стосується інших трьох поправок, то вони визначаються наступним чином. За геодезичними координатами декількох пунктів Q_i (i=1,2,...,n), відомими в двох системах координат, з допомогою формул (3.50-3.52) можна визначити лінійний зсув dx,dy,dz одної системи відліку геодезичних координат відносно другої.

Вказану задачу можна сформулювати ще так. Дано координати окремих пунктів геодезичної мережі - (X,Y,Z), визначених з допомогою GPS в системі WGS-84. Обчислити параметри перетворення для геодезичної мережі, у якій більшість пунктів є з відомими координатами B,L,H в системі деякого референцного еліпсоїда, причому деякі з них є спільними (відомі координати в обох системах відліку).

Розв'язування цієї задачі дістанемо за допомогою наступного алгоритму:

· для спільних пунктів виконуємо перетворення декартових X,Y,Z, заданих в системі WGS-84 вгеодезичні B,L,H координати за допомогою формул (2.33));

· визначаємо три параметри перетворення dx,dy,dz на основі формул (3.50-3.52);

· для пунктів GPS, які не належать до спільних, використовуючи параметри перетворення, знаходимо координати (B,L,H)_REF в системі референцного еліпсоїда;

Нехай референцна система XYZ визначена в іншій системі X₀Y₀Z₀ положенням початку координат dx,dy,dz і кутами e_x, e_y, e_z, на які треба повернути систему XYZ відповідно навколо осей X, Y, Z, щоб ці осі стали паралельні відповідно осям X₀,Y₀, Z₀.

В такій постановці декартові координати із одної системи в іншу будуть перетворюватись за формулами:

 

(3.53)

 

(3.54)

 

При невеликих кутах повороту осей однієї системи координат відносно другої, що має місце в практиці, матриця перетворення R має елементи

 

(3.55)

 

У формулі (3.54) R’ - транспонована матриця R, m - масштабний множник. Для більшості задач, що виникають при переобчислені координат сучасних систем координат можна вважати, що m=1.

Перетворення (3.54) називається ще перетворенням або трансформацією Гельмерта.

Формулу (3.54) можна представити і в такому виді:

 

(3.55)

 

Кожен пункт Q_i (i=1,2,...,n), координати якого відомі в двох системах координат, утворює систему рівнянь (3.55). Шукані параметри зв’язку двох систем координат можна обчислити з оцінкою точності, застосовуючи принцип найменших квадратів.

Розв'язування сформульованої вище задачі зв’язку двох систем координат дістанемо за допомогою наступного алгоритму:

1) для спільних пунктів виконуємо перетворення геодезичних координат B,L,H в декартові X,Y,Z за допомогою формул (2.32);

2) визначаємо шість параметрів перетворення dx,dy,dz і на основі формул (3.54) або (3.55).

3) для пунктів загальноземної системи координат, які не належать до спільних, використовуючи параметри перетворення, знаходимо координати (X,Y,Z)_REF в референцній системі;

4) перетворюємо обчислені в попередньому кроці координати із декартових (X,Y,Z)_REF в геодезичні (B,L,H)_REF.

Точність переобчислених координат буде залежати:

· від похибок формул, що застосовуються при обчисленнях;

· від методів переходу виміряних елементів геодезичних мереж на поверхню референц-еліпсоїда;

від врівноважень, виконаних в геодезичних мережах кожної системи незалежно одна від другої.

Пряма геодезична задача

Нехай на рис.3.7 крива Q₁Q₂ є геодезичною лінією між початковою точкою Q₁ і кінцевою Q₂.

 

 

Рис. 3.7

 

Візьмемо точку Q_o, розташовану на середині геодезичної лінії Q₁Q₂. Застосувавши

формули (3.32) до кожної частини геодезичної лінії, отримаємо для широти

 

(3.56)

Віднявши в (3.56) перше рівняння від другого знаходимо

Для різниць довгот та азимутів отримаємо аналогічно:

де нульовий індекс при похідних показує, що вони повинні обчислюватись за B_o і A_o. Отримані вирази мають перевагу перед формулами (3.32): члени з парними степенями відсутні, а в інших членах коефіцієнти при них зменшились в декілька раз. Проте координати точки Q_o(B_o, L_o, A_o), яка розташована посередині геодезичної лінії Q₁Q₂, не будуть рівні середньому значенню координат цих точок (B_m,