Розв’язування сфероїдних трикутників

 

Класичний метод побудови геодезичної мережі на земній поверхні – метод тріангуляції – складається із геометричних фігур, основними з яких є трикутники, а їхніми вершинами – геодезичні пункти. Виміряні на цих пунктах кутові та лінійні величини виправляються різного роду поправками, що враховують інструментальні похибки, вплив атмосфери тощо, а також приводяться (проектуються) на поверхню вибраного для опрацювання геодезичних вимірювань земного еліпсоїда.

В результаті введення поправок у виміряні значення кутів та ліній, останні поступають на стадію математичного опрацювання з метою врівноваження і подальшого обчислення координат всіх геодезичних пунктів.

Врівноваженню підлягає геодезична мережа, що складається із трикутників на еліпсоїді, які називають ще сфероїдними трикутниками. Для отримання елементів сфероїдного трикутника, переважно довжин його сторін, необхідно його розв’язати, тобто за відомими його елементами знайти невідомі (невимірювані) елементи. При класичному методі побудови геодезичних мереж задача полягає в послідовному обчисленні довжин сторін трикутників тріангуляції, причому відомими є одна сторона та кути кожного трикутника.

На сучасному етапі кардинально змінилася техніка вимірювань. За допомогою GPS-технологій геодезична мережа будується як просторова побудова у вигляді своєрідного багатогранника, гранями якого є плоскі трикутники з виміряними прямолінійними відстанями між їх вершинами. Врівноваження такої просторової побудови є складним, тому більш традиційний шлях перед врівноваженням полягає в тому, що виміряні відстані редукуються на поверхню вибраного еліпсоїда. При цьому можна знайти всі кути новоутворених сфероїдних трикутників і врівноважувати мережу як лінійно-кутову.

Отже, для встановлення геометричних зв’язків між трикутниками необхідно попередньо знайти величини всіх його елементів – кутів та сторін, тобто розв’язати. Враховуючи, що сторони в першокласних геодезичних мережах рідко перевищують 30 км, то трикутники тріангуляції вважаються малими сфероїдними трикутниками. Саме такі трикутники ми і будемо в подальшому розглядати.

Можливість розв’язування малих сфероїдних трикутників як сферичних була розглянута в попередньому розділі (див. п.2.7.3).

 

Сферичний надлишок

Із сферичної тригонометрії відомо, що сферичний надлишок сферичного трикутника (рис.3.2) рівний площі цього трикутника, якщо радіус сфери, на якій він розташований, . При сферичний надлишок визначається формулою

 

. (3.1)

 

Для практичних обчислень сферичного трикутника будь-якого розміру сферична тригонометрія надає формули різного виду. Серед них:

 

Рис. 3.2

 

В малих сфероїдних трикутниках і , тому тригонометричні функції малих аргументів можна розкласти в ряди із збереженням тільки перших членів розкладів:

 

В результаті отримаємо наступні формули:

 

(3.2)

 

Для типових довжин сторін тріангуляції формули (3.2) можна використовувати без членів в дужках

 

(3.3)

 

 

У випадку вимірювання всіх кутів ці формули можна перетворити так, щоб сферичний надлишок був функцією лише однієї сторони

 

(3.4)

 

В першокласних геодезичних мережах сферичний надлишок обчислюється з точністю до .

Для обчислення сферичного надлишку в кожному трикутнику, крім кутів, повинні бути відомі також довжини сторін. Вияснимо, з якою точністю повинні бути відомі довжини сторін і кути, щоб обчислений за ними сферичний надлишок мав похибку не більше .

Для рівностороннього трикутника на основі формул (3.4) можемо записати

 

 

Продиференціювавши дану формулу за змінними та , отримаємо

 

 

Прийнявши, що та , знайдемо допустимі похибки сторін і кутів для різних довжин сторін малого сферичного трикутника (табл. 3.1). В табл. 3.1 приведено також можливі значення сферичного надлишку для рівносторонніх трикутників.

Одним із основних застосувань сферичного надлишку є виявлення нев’язки у трикутнику тріангуляції

 

(3.5)

Таблиця 3.1

км	м