Розв’язування головних геодезичних задач методом переходу на поверхню сфери (формули Бесселя)

 

В основі способа Бесселя лежать умови:

1) геодезична лінія між точками і еліпсоїда (рис.3.9.а) зображується на сфері дугою великого кола між точками і (рис.3.9.б);

2) у відповідних точках геодезичної лінії і дуги великого кола азимути рівні;

 

 

 

 

Рис. 3.9

 

3) широта будь-якої точки на сфері рівна приведеній широті відповідної точки на еліпсоїді, тобто сторони сферичного трикутника і відповідно рівні доповненням до приведених широт точок і на еліпсоїді.

Цими умовами забезпечується вище поставлена вимога однозначної відповідності між геодезичною лінією на еліпсоїді і дугою великого кола на сфері. Така відповідність називається ще бесселевим зображенням.

Залишається встановити зв’язки між різницею довгот точок на еліпсоїді і аналогічною величиною - на сфері; довжиною геодезичної лінії на еліпсоїді і дугою великого кола на сфері. Хід отримання математичних формул цих зв’язків:

1. Вивід диференційних рівнянь, що встановлюють зв’язки між і , і .

2. Інтегрування отриманих диференційних рівнянь.

При наявності всіх необхідних зв’язків між відповідними величинами на еліпсоїді і сфері головні геодезичні задачі способом Бесселя розв’язуються за наступним планом:

а) перехід від елементів сфероїдного трикутника до елементів сферичного трикутника (рис. 3.9 а) і б));

б) розв’язування геодезичних задач (прямої чи оберненої) на сфері;

с) перехід від обчислених елементів сферичного трикутника, стосовно розв'язування прямої чи оберненої задачі, до відповідних елементів на еліпсоїді.

 

Вивід диференційних рівнянь Бесселя

 

Позначимо (рис. 3.9):

- нескінченно малий елемент геодезичної лінії на еліпсоїді, якому відповідає елемент в бесселевому зображенні на сфері; - азимут елемента ;

і - геодезична і приведена широти точки ; і - різниці широт і довгот точок і ; - різниця довгот точок і на сфері.

З цими позначеннями, прийнявши радіус сфери за одиницю, матимемо

 

(3.75)

 

(3.76)

 

звідки отримуємо

 

(3.77)

 

. (3.78)

 

На основі (2.19)

 

,

 

отримаємо

 

. (3.79)

 

Із (2.17) отримаємо

 

. (3.80)

На основі (3.79) з врахуванням (3.80), а також помноживши чисельник і знаменник в (3.79) на , отримуємо

 

(3.81)

Вираз (3.81) з врахуванням (3.77) буде

 

 

звідки

 

(3.82)

 

На основі (3.78) і (3.82)

 

,

 

а, враховуючи, що , отримуємо

 

(3.83)

 

Інтегрування диференційних рівнянь Бесселя

Інтегруючи диференційні рівняння (3.82) і (3.83) уздовж дуги великого кола між її точками і , отримуємо

 

(3.84)

 

(3.85)

 

- еліптичні інтеграли, які в елементарних функціях не виражаються. З практичної точки зору це не є суттєвою перешкодою, поскільки можна знайти їх наближені вирази, придатні для обчислень з будь-якою, необхідною для практики, точністю.

Враховуючи вимоги обчислювальної практики з використанням сучасної комп’ютерної техніки, доцільно для наближеного інтегрування рівнянь Бесселя застосувати розклад підінтегральних виразів в ряди, що швидко сходяться, з наступним почленним інтегруванням рядів.

Почнемо з інтегралу (3.84). Передусім перетворимо його підінтегральну функцію, виразивши її аргумент - приведену широту – через змінну .

Звернемось до рис.3.10, на якому із точки проведено дугу великого кола перпендикулярно до продовження дуги .

Утворився прямокутний трикутник , катети якого і знайдуться за формулами

 

(3.86)

(3.87)

 

Із прямокутного трикутника , розглядаючи точку як точку на дузі великого кола , тобто з широтою , запишемо

 

(3.88)

 

 

звідки

 

(3.89)

 

Рис. 3.10

 

 

Тепер перетворимо рівняння (3.84)

 

Враховуємо, що , , де мала піввісь еліпсоїда; тоді

 

Введемо позначення для сталого коефіцієнта заданої геодезичної лінії в підінтегральній функції

 

(3.90)

 

де .

Тоді

 

. (3.91)

 

Підінтегральну функцію розкладемо в ряд за формулою бінома Ньютона

 

 

Оскільки величина вміщує ексцентриситет () – малу величину, то, очевидно, що цей ряд доволі швидко сходиться.

Замінимо синуси парних степенів через косинуси кратних дуг, на основі співвідношень:

 

(3.92)

Згрупуємо коефіцієнти при кожній функції з однаковим аргументом і введемо позначення

 

(3.93)

 

Тепер вираз (3.91) запишемо в вигляді

 

(3.94)

 

Зауважимо, що величина , яка визначається за формулою (3.87), для даної геодезичної лінії величина стала; інтеграли тригонометричних функцій в рівності (3.94) обчислюються так:

 

(3.95)

 

В результаті інтегрування (3.94) отримаємо вираз для в функції дуги

 

. (3.96)

Ця формула застосовується при розв’язуванні оберненої геодезичної задачі. При розв’язуванні прямої геодезичної задачі величина відома, треба визначити . Розв’язуючи (3.96) щодо , знайдемо

 

(3.97)

 

За формулою (3.97) сферична відстань визначається послідовними наближеннями. В першому наближенні можна прийняти

 

 

після чого (3.97) запишеться в вигляді

 

,

де - номер наближення.

Наведені формули забезпечують точність обчислень 1 10^{-4 м в віддалі і 1 10-4} секунди в при будь-яких віддалях на земному еліпсоїді.

Перейдемо до обчислення інтегралу (3.85). Перед інтегруванням необхідно так перетворити підінтегральний вираз, щоб аргумент підінтегральної функції і змінна інтегрування були би одною і тією величиною.

Попередньо розкладемо підінтегральну функцію в ряд за формулою бінома Ньютона і проінтегруємо перший член отриманого ряду

 

(3.98)

 

В підінтегральному виразі перейдемо від змінних і до змінної . Згідно першого з рівнянь (3.76)

 

 

а згідно (3.86), для поточної точки дуги великого кола .

Перемноживши останні вирази, отримуємо

 

. (3.99)