Постановка задачи. Метод возмущений

Введение

Одной из наиболее сложных задач в разделе математической теории пластичности является неодномерная упруговязкопластическая задача. Сложность ее состоит в том, что граница между областью, которая перешла в пластическое состояние, и областью, деформирующейся упруго, заранее неизвестна, и ее нужно определять в ходе решения задачи, уравнения же в упругой и пластической областях принадлежат к разным типам.

Пластические свойства материалов проявляются весьма разнообразно в зависимости от условий работы, типа нагрузок, структуры материала и т.д.

 

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ

 

Определяющие соотношения, граничные условия, условия сопряжения теории EVP тела

Рассмотрим упруговязкопластическое тело [2], механическая модель которого показана на рис. 1.1.

Рис 1.1 Модель упругопластического тела.

Индексы e, e₁, p и v обозначают соответственно упругий, пластический и вязкий механизмы. Данная модель ведет себя как анизотропно упрочняющаяся упругопластическая среда. В отличие от известных (тело Бингама, вязкопластическая среда Ильюшина и др.) наиболее полно учитывает свойства реальных тел. Действительно, с неограниченным ростом жесткости внутреннего упругого элемента и сколь угодно малом коэффициенте сцепления механизма сухого трения связь между элементами e₁ и v становится жесткой и имеет место модель вязкопластического тела Бингама.

Приведем основные соотношения, которые используются при описании напряженно-деформированного состояния упруговязкопластического тела в рамках теории течения [2].

1. Уравнения равновесия в напряжениях

, (1.1.1)

где − компоненты тензора напряжений,

− ковариантная производная по – ой координате.

2. Соотношения, связывающие полные, упругие и пластические деформации

, (1.1.2)

где − компоненты тензора деформаций,

− компоненты тензора упругих деформаций,

− компоненты тензора пластических деформаций.

3. Соотношения закона Гука, связывающие напряжения и упругие деформации,

, (1.1.3)

где − компоненты девиатора тензора напряжений,

− модуль сдвига.

4. Уравнение поверхности нагружения

, (1.1.4)

,

где − коэффициент упрочнения,

− коэффициент вязкости,

− компоненты тензора скоростей пластических деформаций,

− предел текучести,

− время.

Очевидно, если и , то поверхность нагружения изотропно расширяясь, одновременно перемещается в пространстве напряжений, так как имеет место пластическое деформирование материала с изотропным и кинематическим упрочнением.

5. Соотношения ассоциированного закона пластического течения

, (1.1.5)

где − скалярный положительный множитель.

6. Соотношения Коши, связывающие компоненты тензора деформаций и вектора перемещений

. (1.1.6)

7. Граничные условия в напряжениях

, (1.1.7)

на части поверхности, где заданы усилия ( − компоненты вектора нормали), и граничные условия для перемещений

, (1.1.8)

на части поверхности, где известны перемещения .

8. Условия непрерывности вектора напряжений и перемещений на упругопластической границе

. (1.1.9)

Здесь и далее квадратные скобки обозначают разность значений выражений, заключенных в скобки, соответствующих упругой и пластической областям.

По индексам, повторяющимся два раза, предполагается суммирование от 1 до 3, если не оговорено противное. Нижний индекс, стоящий после запятой, указывает на дифференцирование по координате, соответствующей этому индексу.

Уравнения (1.1.1)-(1.1.9) при учете условия несжимаемости

(1.1.10)

представляют систему уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние упрочняющегося упруговязкопластического тела.

Так как в дальнейшем будем исследовать классы задач в основном в цилиндрической и сферической системах координат, то приведем вид уравнений равновесия (1.1.1) и формул Коши (1.1.6) в этих системах координат.

 

Уравнения равновесия имеют вид:

· в цилиндрической системе координат ()

,

, (1.1.11)

;

 

· в сферической системе координат ()

,

, (1.1.12)

.

 

Формулы Коши:

· в цилиндрической системе координат

,

, , (1.1.13)

;

 

· в сферической системе координат

,

, , (1.1.14)

.

Введение

Одной из наиболее сложных задач в разделе математической теории пластичности является неодномерная упруговязкопластическая задача. Сложность ее состоит в том, что граница между областью, которая перешла в пластическое состояние, и областью, деформирующейся упруго, заранее неизвестна, и ее нужно определять в ходе решения задачи, уравнения же в упругой и пластической областях принадлежат к разным типам.

Пластические свойства материалов проявляются весьма разнообразно в зависимости от условий работы, типа нагрузок, структуры материала и т.д.

 

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ