Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Прямая и обратная геодезические задачи
Прямая геодезическая задача формулируется следующим образом: даны координаты некоторой начальной точки А, а также направление и расстояние от точки А к точке В. Необходимо определить координаты точки В.
При этом в геодезии всегда имеется в виду, что задано направление кратчайшей линии и минимальное расстояние между точками. В навигации в аналогичной задаче, называемой счислением пути, обычно подразумеваются заданными направление локсодромии и ее длина. Кроме того, в обеих интерпретациях, в зависимости от величины заданного расстояния S0 и требуемой точности расчета координат φ1 и λ1, эта задача может решаться на эллипсоиде (с учетом сферичности Земли), на сфере или на плоскости.
Рисунок 2.5 – Направления и расстояния на сфере или сфероиде При больших расстояниях между точками прямая геодезическая задача решается на эллипсоиде или сфере. В геодезии координаты пунктов и азимуты вычисляются с точностью до 0,001΄. Это возможно лишь с учетом сфероидичности Земли на основе применения численных методов интегрирования системы уравнений (2.16)÷(2.18). В судовождении, как правило, достаточная точность (до 0,1') обеспечивается использованием формул сферической тригонометрии. Рассмотрим сферический треугольник АРВ (рис.2.5), образованный дугами меридианов в начальной и конечной точек, равными 900-φ0 и 900-φ1, а также соединяющей длиной D0. Сферический угол при полюсе РN равен разности долгот λ1 – λ0, а угол между северной частью меридиана начальной точки и ортодромией
равен А0 (иногда его обозначают П0 или ). Известными являются величины φ0, λ0, Α0 и D0. Для определения широты φ1 можно воспользоваться теоремой косинуса стороны сферического треугольника, согласно которой , откуда Долгота λ1может быть найдена как с использованием уже рассчитанной широты φ1, так и независимо от φ1. Рассмотрим независимое решение, которое выполняется с помощью теоремы котангенсов. , откуда . Для расчетов на калькуляторе эта формула преобразуется так, чтобы использовались только функции синуса, косинуса и тангенса: . В задаче счисления пути, близкой по сути к прямой геодезической задаче, заданы координаты начальной точки φ0 и λ0, направление пути и пройденное расстояние S0. Определение координат φ1 и λ1 конечной (или текущей точки производится исходя из уравнений локсодромии на сфере где главные радиусы кривизны Ν1 и Ν для любой точки поверхности равны радиусу сферы R (см. уравнения (23) и (24)):
; (2.24) . (2.25) Интегрирование уравнения (2.24) не представляет затруднений, так как его правая часть является постоянной величиной . Если расстояние Ѕ0 выражено в морских милях, то разность широт по этой формуле получается в радианах. Для перехода к угловым минутам необходимо это значение разделить на arc1´, а так как R arc1´=1, то разность широт в минутах находят по формуле . Уравнение (32) содержит в правой части переменную величину φ. Интегрирование его можно выполнить по аналогии с выводом уравнения локсодромии (см. п.3.4.). В результате получается формула (2.21) с вместо А и без второго слагаемого в квадратных скобках: (2.26) При значениях близких к 900 или 2700 этой формулой воспользоваться нельзя, т.к. tg -¥. Но при этом величина φ практически не изменяется. Считая φ постоянным, равным φ0, получаем следующее решение уравнения (2.25) причем sin = 1 при = 900 и sin = -1 при = 2700. Обе последние формулы дают разность долгот в радианах. Переход к угловым минутам производится делением этих значений на arc1´=1/3437,75, поэтому для практического использования эти формулы записываются в виде: (2.27) при |K0-90|≥1º и |K0-270|≥1º; λ1 – λ0 = S0 / cosφ0 при |K0-90|<1º; λ1 – λ0 = - S0 / cosφ0 при |K0-270|<1º;
При малых расстояниях между начальной и конечной точками локсодромия и ортодромия практически сливаются в одну линию и рассмотренная задача в навигации обычно решается графически путем построения на карте. Обратная геодезическая задача формулируется так: даны координаты точек А(φ0, λ0) и В(φ1, λ1); определить направление и расстоянию от А к точке В. В большинстве случаев кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности Земли и направление кратчайшей линии можно рассчитать с достаточной для целей навигации точностью по формулам сферической тригономет
рии. В сферическом треугольнике АРΝВ (см. рис. 2.2) при этом известны дуги меридианов, равные 90º - φ0 и 90º - φ1, а также угол между ними, λ1 – λ0.
Ортодромическое расстояние D0 находится по формуле косинуса стороны с учетом тождеств cos(90 - φ0) =sinφ0, sin(90 – φ0) = cosφ0 и т.п.: cosD0=sinφ0 sinφ1 + cosφ0 cosφ1 cos(λ1 – λ0). (2.28) Если требуется повышенная точность определения кратчайшего расстояния между точками, то следует исправить величину D0 поправкой за сфероидичность Земли, которую можно рассчитать по формуле Андуайе-Ламберта , (2.29) где ; . В приведенной формуле величина D0, не являющаяся аргументом тригонометрических функций, должна быть выражена в радианах. Величина ΔD получается в таких же единицах длины, в каких задана большая полуось земного сфероида. Если - в метрах, то для представления ΔD в милях необходимо разделить результат на 1852. Исправляемое расстояние D0 относится к сфере с радиусом, равным . Поэтому расстояние D0 (в милях) определяется как произведение угла D0 (в радианах) на (в милях). Длина геодезической линии DГ = D0 + ΔD. Направление кратчайшей линии от точки А к точке В в навигационных задачах можно всегда считать совпадающим с направлением ортодромии и находить по формуле котангенсов , откуда . Для вычислений на калькуляторе эту формулу целесообразно представить в виде . В навигации существует задача расчета плавания по локсодромии, в которой по координатам двух точек требуется определить курс и протяженность пути S0 из одной точки в другую. Такая задача с достаточной точностью решается на основе полученных ранее уравнений локсодромии на сфере (см. формулы (2.27)¸(2.29)). Для нахождения локсодромического курса К0 из точки А(j0, l0) в точку В(j1, l1) рассчитывается величина , (2.30) где разность долгот l1 - l0 выражается в угловых минутах. Величина находится в пределах от –90 до 900. Переход от к углу курса производится исходя из соотношения широт и долгот начальной и конечной точек: = при j1 > φ0; λ1 > 0; = +1800 при j1 < φ0; = +3600 при j1 > φ0; l1 < l0. Если локсодромия пересекает меридиан, соответствующий λ = 1800, то во всех приведенных соотношениях нужно увеличить западную долготу на 3600. Например, если движется в западном направлении и λ0 = -1700, то нужно считать λ0 = 1900; если судно движется в восточном направлении иλ1 = -1600, то нужно принимать λ1 = 2000. При j0 = φ1 расчет по формуле (2.30) приводит к неопределенности, т.к. аргумент арктангенса стремится к бесконечности. В таких случаях локсодромический курс с точностью до 0,50 принимается равным 900 при движении судна на восток (l1 > l0) и = 2700 при движении на запад (l1 < l0). Локсодромическое расстояние S0 можно найти из уравнения (33) по известной разности широт j1 - φ0 и рассчитанному курсу : . Здесь j1 - φ0 - в угловых минутах, а S0 – в милях. При близких к 90 или 2700 |cos | → 0 и при расчетах по формуле (35) и (36), вычислять S0 по формуле . На основании сравнения локсодромического и ортодромического расстояния между заданными точками делается вывод о целесообразности плавания по ортодромии и выбирается более рациональный путь судна.
Вопросы для самопроверки 1. Какое значение для судовождения имеет форма и размеры земли? 2. Что такое референц-эллипсоиды и какие они бывают? 3. Какие широты точки на Земле используют в картографии?
4. Какие радиусы кривизны и длины дуг используют в судовождении? 5. Что такое геодезическая линия и какие методы её расчетов возможны?
6. Что такое локсодромия и её аналитическое описание? 7. Что такое ортодромия и соответствующие ей уравнения?
РАЗДЕЛ 3
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-10; просмотров: 865; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.64.241 (0.021 с.) |