Рівняння нерозривності течії для нестисненої рідини.

Для спрощення розрахунків вважають, що між сусідніми шарами рухомої ріди­ни відсутні сили внутрішнього тертя, й рідина під дією зовнішніх сил не стис­кується. Таку рідину називають ідеальною.

Припустимо, що ідеальна не стиснена рідина рухається уздовж труби змінного попереч­ного перерізу (рис. 1.32) і при проходженні крізь поперечні перерізи S1 і S₂ швидкість течії дорівнює відповідно: v1 і v₂. При стаціонарному русі крізь будь-який поперечний переріз трубки течії за рівні

 

 

 

Рисунок 1.32

проміжки часу проходять однакові об'єми рідини: ₁= ₂, або S_{1 1} t = S_{2 2} ∆t, звідки

S_{1 1}=S_{2 2} =const S_{1 1} = S_{2 2} t (3.5)

 

Це співвідношення називають рівнянням нерозривності струменя. З рівняння (3.5) випливає, що швидкість течії рідини обернено пропорційна площі поперечного перерізу

= (3.6)

Виділимо з потоку рідини трубку течії, яка поступово звужується (рис. 1.33). При переміщенні об'єму рідини V від поперечного перерізу S1 до S₂ одно­часно збільшуються його потенціальна й кінетична енергії.

Рисунок 1.33

Цю додаткову енергію рідина одержує за рахунок роботи зов­нішньої сили тиску Р, під дією якої й ру­хається рідина. Розрахунок показує, що при переміщенні рідини об'ємом від перерізу S₁ до перерізу S₂ сила тиску ви­конує роботу А = (Р₁- Р₂), де Р₁ і Р₂ — тиск, створюваний зовнішньою силою в перерізах S₁ і S_2.

Відповідно до закону збереження енергії, робота, виконана зовнішньою си­лою, дорівнює приросту кінетичної й потенціальної енергії виділеного об'єму рідини: А = . Приріст кінетичної й потенціальної енергій відповідно до­рівнюють:

= ; mgh₁ – mgh₂

Підставимо значення А, , й у закон збереження енергії:

(Р₁- Р₂) + mgh₂ - mgh₁

Розділивши обидві частини цього рівняння на об'єм і врахувавши, що = - густина рідини, одержимо

Р₁- Р₂₌ - +

Це співвідношення вперше було одержане швейцарським механіком і математиком Даниілом Бернуллі (1700 – 1782) й дістало назву рівняння Бернуллі.

З'ясуємо його фізичний зміст. Тут р₁ і р₂ — зовнішній тиск, а pgh₁ і pgh₂ гідростатичний тиск рідини для перерізів S₁ і S ₂. Суму зовнішнього й гідростатичного тисків, р + pgh,, називають статичним тиском рідини. Він не пов'язаний з рухом рідини й спричинює тиск на стінки труби, якою рухається рідина. Доданок pv визначає величину того додаткового тиску, який спричинює рідина внаслідок свого руху. Його називають динамічним тиском. Він проявляється на досліді при гальмуванні рідини. Отже, в лівій частині рівняння Бернуллі стоїть сума статичного й динамічного тисків рідини для перерізу S₁ а в правій — для перерізу S₂. Таким чином, при стаціонарному русі ідеальної рідини сума статичного й дина­мічного тисків уздовж усієї трубки течії є величина стала (закон Бернуллі):

Якщо трубка течії розташована горизонтально (h1 = h₂), то рівняння Бернуллі набуває такого вигляду:

pv pv

p1 + ----------- = p2 +------- 30

2 2

 

Звідси випливає, що коли динамічний тиск збільшується, то статичний тиск відповідно зменшується, й навпаки. У звуженій частині труби швидкість течії, а отже, й динамічний тиск, збільшується, а статичний тиск тут зменшується й може стати нижчим від атмосферного. Ця обставина покладена в основу принципу дії пульверизатора, інгалятора, водоструминного насоса та інших технічних пристроїв.

Основні закони гідродинаміки — закон Бернуллі й рівняння нерозрив­ності течії — широко застосовують у лікувальній практиці. Розглянемо деякі з них.

1. Медичні шприци використовують для ін'єкцій, діагностичних пункцій та відсмок­тування вмісту з різних порожнин людського організму. Незважаючи на деякі конст­руктивні відмінності, принцип їх дії однаковий, оскільки ґрунтується на основних законах гідродинаміки. Основною частиною шприца є градуйований циліндр із конусним наконечником, на який насаджується порожниста голка. Усере­дині циліндра переміщується поршень зі штоком, Циліндр виготовляють зі скла або пластмаси (одноразові шприци), а поршень може бути скляним (шприц Люера), пластмасовим (одноразові шприци) або металевим (шприци типу "Рекорд").

З погляду гідродинаміки, циліндр із голкою являє собою трубу зі змінним по­перечним перерізом. Швидкість течії рідини крізь поперечні перерізи циліндра й голки наближено визначається на основі рівнянь Бернуллі й нерозривності течії

2.Пульверизатор складається з двох трубок, розміщених під прямим кутом (рис. 1.34).

 

 

Рисунок 1.34

Гори­зонтально розташована трубка 2 має звуження, поблизу якого містяться звужений кінець вер­тикальної трубки 7; другий її кінець опущений у посудину з рідиною. Крізь горизонтальну труб­ку за допомогою гумової груші 3 продувають повітря. У звуженому перерізі горизонтальної трубки швидкість руху повітря збільшується, тому статичний тиск зменшується й стає ниж­чим від атмосферного. Рідина з посудини під дією атмосферного тиску піднімається вгору по вертикальній трубці і, захоплюючись потоком повітря, розпилюється.

3. Паровий інгалятор є однією з різно­видностей пульверизатора, в якому роль гумової груші відіграє електричний пароутворювач 1 (рис.1.35). При проход­женні крізь звужений кінець горизон­тальної трубки 2 швидкість пари збільшу­ється, а її статичний тиск відповідно зменшується й стає нижчим від атмо­сферного. Під дією атмосферного тиску рідкі ліки зі стакана 3 піднімаються по вертикальній трубці 4, розпилюються струменем пари й крізь патрубок 5 вдихуються хворим.

 

Рисунок 1.35

4.Водоструминний насос складається зі скляного балона 1 (рис 1.36), який за до­помогою трубки приєднується до во­допровідного крана, а за допомогою труб­ки — до порожни­ни, вміст якої потрібно відкачати.

Вода, проходячи крізь зву­жений кінець трубки, збільшує свою швидкість відповідно з рівнянням нерозривності струменя. Зі збільшенням швидкості течії статичний тиск, згідно із законом Бернуллі, падає нижче від атмосферного. Повітря або рідина крізь трубку 3 засмоктується з порожнини, в яку вона введена, і крізь трубку 4 ви­носиться потоком води. Водоструминний насос створює розрідження до 26,6 кПа (~ 200 мм рт. ст.). Він не має рухомих дета­лей і тому безшумний, не потребує мастила й відповідає всім вимогам гігієни. Завдяки цьому водоструминний насос використовується для евакуації рідини й газів із грудної й черевної порожнин, малого тазу, шлунку, сечового міхура тощо

 

 

 

 

 

Рисунок 1.36

 

Система кровообігу людини

Система кровообігу людини складається з серця і замкнутих кровоносних судин, що утворюють велике і мале кола кровообігу.

Кровоносна система людини - складна замкнута система еластичних трубок судин різного діаметра (аорти, артерії, артеріоли, капіляри, вени, венули) (рис.1.37). Від серця кров рухається по аорті - еластичній трубці з м'язової тканини. Чим далі від сер­ця, тим більше розгалужуються судини, відсилаючи у всі органи свої розгалужен­ня - артерії. Діаметр судин зменшується по мірі віддалення від серця (табл.2). У тканинах органів артерії розгалужуються і перетворюються у дрібні судини - артеріоли, які дають початок незчисленним дрібненьким судинам – капілярам.

 

 

 

Рисунок 1.37

 

Таблиця 2. Діаметр різних судин, швидкість руху та тиск крові у них

 

Судини	Діаметр, мм	Швидкість, см/с	Тиск, мм рт.ст.
Аорта			50-150
Артерії	10-5	50-20	80-20
Артеріоли	0,1-0,5	20-1	50-20
Капіляри	0,5-0,01	0,5-0,1	20-10
Венули	0,1-0,2	0,1-1	10-5
Вени	10-30	10-20	(-5)-(+5)

 

Система кровообігу виконує в організмі транспортну функцію: кров транспортує кисень і поживні речовини від легень і органів травлення до всіх тканин організму; від тканин кров виносить кінцеві продукти обміну до органів виділення.

Стінка капіляра має особливу будову і нагадує сітку. В отвори між клітинами вільно проходять із капілярів у тканини кисень і поживні речовини. Капіляри, посту­пово збільшуючи свій діаметр, переходять у венули. Венули з'єднуються у вени, які несуть кров у серце. Коло замикається. До місця старту кров повертається, у середньому, через 20 секунд. Загальна довжина всіх судин -100000 км. За одне скорочення серце виштовхує в аорту від 60 до 80 мл крові, а при збільшенні фізичного навантаження до 200 мл. За 1 хвилину серце перекачує від 6 л крові (в стані спокою) до 35-40 л (в стані навантаження).

Розглянемо коротко біофізичні функції елементів серцево-судинної системи.

Серцево-судинна система замкнена, тому для забезпечення руху крові в ній повинен бути періодично діючий гідравлічний насос. Цю роль виконує серце. Аорта та артерії грають роль провідників, які підводять кров до різних частин тіла. Артеріоли – це «крани» серцево-судинної системи.

Основною причиною, що створює різницю тисків у кровоносних судинах, є робота серця. Серце починає функціонувати вже на 18-й день життя у ма­ленькому, не більшому за горошину організмі. Крім роботи серця, рух крові по судинах сприяє скороченню скелетних м'язів і створює від'ємний тиск в плевральній порожнині (за 0 прийнято атмосферний тиск). При скороченні скелетних м'язів відбувається стискання вен і в силу їх вентиль­них властивостей (наявність клапанного апарату) відбувається рух крові. Від'ємний тиск в плевральній порожнині сприяє притоку крові до серця по венах.

Робота, яку виконує серце припадає, в основному, на лівий шлуночок. Робота правого шлуночка складає 15-20 % від роботи лівого. Робота, яку виконує шлуно­чок, складається з двох компонентів: роботи на нагнітання крові проти тиску в аорті і роботи на надання крові кінетичної енергії.

Робота протягом одного скорочення серця в стані спокою 1Дж. Вважаючи, що в середньому серце здійснює 1 скорочення в секунду, робота серця за добу: Ас = 86400 Дж. При активній м»язовій діяльності робота серця може збільшитися в декілька разів.

Так як час систоли складає 0,3 с, то середня потужність серця за час одного скорочення складає 3,3 Вт.

При операціях на серці, які потребують тимчасового відключення його від системи кровообігу, користуються спеціальними апаратами штучного кровообігу (рис.1.38 ) рис 9,10 с.158 Ремизов

Цей апарат являє собою поєднання штучного серця (насосна система) з штучними легенями (оксигенатор – система, що забезпечує насичення крові киснем).