Відшукання параметрів рівняння лінійної регресії за згрупованим даними

У п.1.4. для знаходження параметрів а і лінійного рівняння регресії за незгрупованим даними була одержана нормальна система

(1.8.1)

 

Передбачалося, що значення і відповідні їм значення спостерігалися по один раз. При великій кількості статистичних даних, як правило, серед пар значень є повторювані. Тоді їх групують і утворюють кореляційну таблицю (див.п.1.5). Запишемо систему (1.8.1) так, щоб вона відбивала дані кореляційної таблиці.

Зі співвідношень

випливає, що

.

 

Тому що пара чисел спостерігалася раз, то

 

.

 

Позначимо, як було сказано раніше, . Тоді система (1.8.1) прийме наступний вид:

(1.8.2)

 

(У другому рівнянні системи зроблене скорочення на п)

Возв’язавши цю систему, знайдемо і , тобто, і шукане рівняння

 

.

 

Нескладно довести, що в це рівняння лінійної регресії на можна ввести коефіцієнт кореляції, і воно прийме наступний вид:

 

, (1.8.3)

де = .

Використовувати рівняння (1.8.3) простіше, ніж утворювати і розв’язувати систему (1.8.2), а потім знаходити коефіцієнт кореляції для встановлення тісноти кореляційного зв'язку.

 

Зауваження 1. Аналогічно знаходять рівняння лінійної регресії на :

, (1.8.4)

 

де = .

Зауваження 2. Рівняння (1.8.3) і (1.8.4) можна записати в більше симетричній формі:

,

.

 

Приклад. Знайти лінійне рівняння регресії на за даними кореляційної таблиці 14 (див.п.1.7.).

 

Розв’язання. У прикладі попереднього пункту 1.7. уже обчислені . Тепер і можна знайти по наступних формулах:

 

, , (1.8.5)

 

. (1.8.6)

 

Формули (1.8.5) і (1.8.6)випливають із формул (1.7.1)

 

Обчислимо :

,

 

,

 

= ,

 

.

 

Підставимо ці величини і коефіцієнт кореляції, що знайдений раніше (), у рівняння лінійної регресії

,

 

Одержимо шукане рівняння

 

,

 

або

.

 

Перевірка гіпотези про значущість коефіцієнта

Кореляції

 

Приведемо деякі визначення. Статистичною називають гіпотезу (припущення) про вид невідомого розподілу або про параметри відомих розподілів. Висунуту гіпотезу називають нульовою (основною).

Конкуруючою (альтернативною) гіпотезою називають гіпотезу , що суперечить нульовій.

Висунута гіпотеза може бути правильною або неправильною, тому виникає необхідність її перевірки. У результаті такої перевірки методами математичної статистики можуть бути допущені помилки двох родів.

Помилка першого роду полягає в тому, що може бути відкинута правильна гіпотеза.

Помилка другого роду полягає в тому, що буде прийнята неправильна гіпотеза.

Наслідки цих помилок можуть бути самими різними. Наприклад, якщо відкинуто правильне рішення «продовжувати будівництво житлового будинку», те ця помилка першого роду спричинить матеріальний збиток. Якщо ж прийняти неправильне рішення «продовжувати будівництво», то ця помилка другого роду може спричинити різні наслідки (обвал будинку і т.д.).

Ймовірність зробити помилку першого роду називають рівнем значущості. Природно, що ця ймовірність повинна бути дуже малої. Найбільш уживані рівні значимості 0,05; 0,002;0,01, рідше 0,10 або 0,001. Щоб краще «відчути» рівень значимості, можна скористатися аналогією між ймовірністю і частотою. Якщо, наприклад, прийнятий рівень значущості 0,05. те це означає, що в середньому в п'яти випадках з 100 ми ризикуємо припуститися помилки першого роду (відкинути правильну гіпотезу).

Для перевірки нульової гіпотези використовують спеціально підібрану випадкову величину К, точний або наближений розподіл якої відомий. Її називають статистичним критерієм (або просто критерієм).

Критичною областю називають множина значень критерію К, при яких нульова гіпотеза відкидається.

Областю прийняття гіпотези називають множина значень критерію К, при яких гіпотеза приймається.

Критичними точками називають точки, що відокремлюютькритичну область від області прийняття рішень. Їх знаходять по спеціальних таблицях.

Якщо критична область визначається нерівністю (), то її називають правосторонньою.

Лівосторонньою називають критичну область, де ().

Правосторонню або лівосторонню критичну область називають односторонньою.

Двосторонньою критичною областю називають критичну область, яка визначається нерівностями , де . Зокрема, якщо критичні точки симетричні щодо нуля, двостороння критична область визначається нерівністю , якщо .

Зауваження У випадку прийняття нульової гіпотези не слід думати, що вона доведена. Дійсно, одиничний приклад, що підтверджує яке-небудь твердження, ще не доводить його. Тому більш правильно говорити, що дані спостережень погодяться з нульовою гіпотезою, а тому немає підстав її відкинути. Для більшої впевненості прийняття гіпотези можна перевірити її іншими способами або збільшити число спостережень.

Якщо спостережуване значення критерію належить критичній області, то це суперечить нульовій гіпотезі, що дозволяє її відхилити. Дійсно, одиничний приклад, що суперечить деякому загальному твердженню, дозволяє його відхилити.

На практиці, якщо спостережуване значення статистичного критерію належить критичній області, гіпотезу відкидають, а якщо спостережуване значення ознаки належать області прийняття гіпотези, гіпотезу приймають у тому розумінні, що немає підстав її відкинути.

Покажемо, як здійснюється перевірка гіпотези про значущість вибіркового коефіцієнта кореляції. Нехай двовимірна генеральна сукупність () має нормальний розподіл. З її зроблена вибірка об'єму п і по цій вибірці знайдений вибірковий коефіцієнт кореляції , що виявився відмінним від нуля. Тому що вибірка зроблена випадково, то ми не можемо бути впевнені, що коефіцієнт кореляції генеральної сукупності (генеральний коефіцієнт кореляції) також не дорівнює нулю. Ставиться задача: при заданому рівні значущості перевірити нульову гіпотезу при конкуруючій гіпотезі .

Як критерій нульової гіпотези приймають випадкову величину

.

Ця величина при справедливості нульової гіпотези має розподіл Стьюдента ( - розподіл) зі ступенями свободи.

У випадку діаметрально протилежних нульової й конкуруючої гіпотез (у цьому випадку ) будують двосторонню критичну область.

Перевірка нульової гіпотези при заданому рівні здійснюється в такий спосіб.

1. За даними спостережень обчислюють спостережуване значення критерію

2. По таблиці критичних точок розподілу Стьюдента (додаток 1) по заданому рівні значущості і числі ступенів свободи знаходимо критичну точку для двосторонньої критичної області

Якщо ,то немає підстав відкинути нульову гіпотезу.

Якщо ,то нульову гіпотезу відкидають. Це означає, що вибірковий коефіцієнт кореляції є значущим, тобто він невипадково відрізняється від нуля. У свою чергу, це означає, що величини і зв'язані лінійною кореляційною залежністю.

 

Приклад. З вибірки об'єму , витягнутої із двовимірної нормальної генеральної сукупності (), знайдений коефіцієнт кореляції . Потрібно на рівні значущості перевірити нульову гіпотезу про рівність нулю генерального коефіцієнта кореляції при конкуруючій гіпотезі .

Розв’язання. Знайдемо спостережуване значення критерію:

 

 

По таблиці критичних точок розподілу Стьюдента для двосторонньої області за рівнем значущості і числу ступенів свободи знаходимо критичну точку. Вона перебуває між 1,98 і 2,00. Тому що > t_кр, те гіпотеза про рівність нулю генерального коефіцієнта кореляції відкидається. Інакше кажучи, зв'язані кореляційною залежністю.

 

Питання й задачі для самоперевірки

1. Який зв'язок між випадковими величинами називається статистичним?

2. Який зв'язок між випадковими величинами називається кореляційним?

3. Нехай між існує статистичний зв'язок. Чи випливає звідси, що ці величини зв'язані кореляційно?

4. Нехай зв'язані кореляційно. Чи випливає звідси, що між ними є статистичний зв'язок?

5. Сформулюйте дві основні задачі теорії кореляції.

6. зв'язані кореляційно. Чи означає це, що залежить від Х або Х залежить від ?

7. Яка ідея методу найменших квадратів?

8. Проведіть аналогію між визначеннями дисперсії

у теорії ймовірностей і в математичній статистиці:

,

де значення ознаки вибірки об'єму п мають відповідно частоти причому .

9. Що називається кореляційною таблицею?

10. Яка ідея визначення коефіцієнта кореляції по формулі

?

11. Перелічите властивості коефіцієнта кореляції.

12. Чи можна сказати, що коефіцієнт кореляції характеризує тісноту кореляційного зв'язку?

13. Що розуміють під:

а) рівнем значущості статистичної гіпотези?

б) нульовою й конкуруючою гіпотезами?

в) статистичним критерієм?

г) критичною областю?

д) областю прийняття рішень?

е) критичною точкою?

14. Чи приймається нульова гіпотеза, якщо спостережуване значення критерію належить критичній області?

15. Чи приймається нульова гіпотеза, якщо спостережуване значення критерію належить області прийняття гіпотези? Чи свідчить цей факт про те, що нульова гіпотеза доведена.

Задача. Знайти рівняння лінійної регресії на Х за даними, наведеним у таблиці 17, обчисливши попередньо коефіцієнт кореляції. На рівні значущості перевірити нульову гіпотезу при конкуруючій гіпотезі

Таблиця 17

 

 

Відповідь. 1. ; 2. ; 3. = 11,58, . > . Гіпотеза про рівність нулю відкидається.