Коефіцієнт рангової кореляції Спирмена

 

Суть і методику рангової кореляції розкриємо на конкретному прикладі. Допустимо, що потрібно визначити тісноту зв'язку між виходом пшеничного хліба й вологістю борошна на підставі наступних даних (таблиця 27).

 

Таблиця 27

 

Вологість борошна (%) ()	13,5	13,6	13,7	13,8	13,9	14,0	14,1	14,2	14,3	14,4
Вихід хліба (г. на кг борошна) ()

 

Якщо говорити про вплив на вихід хліба тільки вологості борошна, то при збільшенні вологості вихід хліба повинен зменшуватися. Це зрозуміло: більш сухе борошно дає більший припік, тісто з нього не липне до машин, не розпливається при випічці. Однак дані наведених спостережень показують, що в ряді випадків зменшення виходу хліба переміняється його збільшенням. Це відбувається тому, що крім основного досліджуваного фактору (вологості борошна) на вихід хліба впливали й різні інші причини, не враховані в досліді. Вони й викликали випадкові стосовно дії основного фактору відхилення.

Порушення загальної тенденції зменшення виходу хліба при збільшенні вологості борошна можуть бути легко встановлені, якщо розставити порядкові номери по зростанню або по убуванню ознак. Ці порядкові номери називаються рангами. Для ознаки ці ранги такі: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Значення також розташуємо в порядку зростання: 1346(№1), 1347(№2), 1348(№3), 1354(№4), 1357(№5), 1359(№6), 1360(№7), 1362(№8), 1363(№9), 1368 (№10).

Значенню (ранг1) відповідає (ранг8), значенню (ранг2) відповідає (ранг10) і т.д. Ранги ознаки й відповідні ранги ознаки показані в таблиці 28

 

Таблиця 28

 

Ранги
Ранги

 

Таким чином, не можна відзначити строгу «правильність» у зміні рангів обох ознак. Найменшому значенню відповідає восьме в порядку зростання значення , другому значенню відповідає десяте значення і т.д.

Для того, щоб виміряти тісноту зв'язку між цими двома ознаками, можна сконструювати показник, заснований на обліку рангів обох ознак. Обчислимо різниці між рангами та і піднесемо їх, щоб звільниться від впливу знаків, до квадрата. Зрозуміло, що при збігу у всіх випадках рангів в обох ознаках сума квадратів їхніх різниць . Такий збіг рангів міг би означати зв'язок функціональний, тобто такий, при якій зміни однієї ознаки цілком визначалися б зміною іншої. При цьому зв'язок був би прямий, тобто зміна обох ознак відбувалась би майже у ту саму сторону. При зв'язку ж функціональному, але зворотному, тобто такому, при якому зміни ознак, що зіставляються, відбуваються у різні сторони, як можна показати, , де - число пар значень порівнюваних ознак.

Значення суми квадратів різниць між рангами в середньому для цих двох випадків означало б, мабуть, відсутність зв'язків. Це середнє значення дорівнює

Показник тісноти зв'язку сконструйований так, щоб показати, як відрізняється дійсна сума квадратів різниць між рангами від цього випадку відсутності зв'язку. Цей показник такий:

 

. (2.4.1)

 

 

Він називається коефіцієнтом рангової кореляції Спирмена. Якщо зв'язок функціональний і прямий, то , тому що .При цьому . Якщо ж зв'язок функціональний і зворотний, то , тому що . При цьому . Отже, може приймати значення від 1 до -1. При цьому чим тісніше зв'язок між досліджуваними ознаками, тим ближче значення буде до 1 або -1.

У розглянутому прикладі обчислимо (таблиця 29)

 

Таблиця 29

Ранги	Ранги
		-7
		-8
		-2
		-5
		-2

 

По формулі (2.4.1)

.

 

Показник кореляції рангів свідчить про досить тісний зв'язок між виходом хліба й вологістю борошна. Цей висновок можна зробити за умови значущості (див. п.2.4.2). Перед цим показником стоїть знак мінус. Це означає наявність зворотного зв'язку: при збільшенні вологості борошна вихід хліба зменшується.

 

Зауваження 1 Існують і інші показники тісноти зв'язку (наприклад, коефіцієнт рангової кореляції Кендалла).

Зауваження 2 Коефіцієнти рангової кореляції є досить недосконалими статистичними характеристиками тісноти кореляційної залежності, тому що вони враховують не значення величин, а лише їхні ранги. У цьому плані вони значно уступають коефіцієнту кореляції й кореляційному відношенню. Однак на практиці нерідко доводиться визначати тісноту зв'язку між якісними ознаками, тобто такими, які не мають кількісного вираження або його важко встановити, але ці величини можна розташувати в порядку зростання або убування якості. Це значить, що їм можна приписати ранги. У цих випадках для оцінки ступеня зв'язку досліджуваних ознак застосовують коефіцієнт рангової кореляції.