Знаходження коефіцієнта кореляції по даним кореляційної таблиці методом чотирьох полів

 

Покажемо, як можна істотно спростити обчислення при знаходженні коефіцієнта кореляції за даними кореляційної таблиці з рівновіддаленими варіантами, якщо число спостережень велике (у прикладі, що нижче приводиться, для простоти підрахунку взяте невелике число даних).

Перейдемо до умовних варіант:

 

(1.7.1)

де і - так звані несправжні нулі (новий початок відліку), і - кроки, тобто різниці між двома сусідніми початковими значеннями й двома сусідніми значеннями (нові одиниці масштабу). За і найкраще вибирати значення і , що мають найбільшу частоту.

Перехід до умовних варіантів не змінює величини :

 

. (1.7.2)

 

Величини , , і можуть бути обчислені по методу добутків або по визначенню. Залишається вказати спрощений спосіб обчислення . Цієї меті й служить метод чотирьох полів. Назва методу пов'язана з тим, що рядок і стовпець, що перетинаються в клітці, яка містить найбільшу частоту, ділять кореляційну таблицю на 4 частині, які називають полями. Поля нумеруються так, як зазначено в таблиці 10.

 

Таблиця 10

	I		II
		наиб. частота
	III		IV

 

Покажемо, як ведеться розрахунок, для чого обмежимося поки полем I. Нехай частина таблиці 10, що містить перше поле, представлена у вигляді таблиці 11.

 

Таблиця 11

	-3	-2	-1
-2			-
-1	-

 

Знайдемо добутки пар варіант і й помістимо їх у верхні праві кути кліток, що містять відповідні частоти. Наприклад, пари варіант і спостерігалося 5 разів; добуток поміщаємо у верхній правий кут клітки, що містить частоту 5. Заповнивши подібним чином інші клітки першого поля, одержимо таблицю 12.

 

 

Таблиця 12

	-3	-2	-1
-2			-
-1	-

 

Аналогічно заповнюємо клітки інших полів. Таким чином, у кожній клітці, (яка містить частоту ), виявляється записаним і добуток ; залишається перемножити два числа і у кожній клітці та результати скласти. У підсумку одержимо шукане число .

Для зручності контролю обчислень знайдені добутки чисел і кожної клітки підсумовуються окремо по кожному полю, причому підрахунок ведеться по рядках і по стовпцях кожного поля: суму чисел рядка поля виписують у той з додаткових стовпців, поміщених праворуч, що має номер того поля, числа якого складалися. Суму чисел стовпця поля виписують у той з додаткових рядків, поміщених унизу, що має номер того поля, числа якого складалися. Суми чисел окремо по кожному полю записують у правому куті таблиці в чотирьох підсумкових клітках. Нарешті, складаючи всі числа підсумкових кліток, знаходять шукане число.

Схематично розрахункова таблиця представлена у вигляді таблиці 13.

Пояснимо, як заповнена таблиця 13 (для простоти розрахунок ведеться лише для першого поля).

Таблиця 13

	-3	-2	-1			I	II
-2			─		II
-1	─
				наиб. частота		III	IV
		III			IV
I				II			II
III				IV		III	IV

 

Знайдемо суми добутків і по рядках першого поля ( і помістимо їх у додатковий стовпець I.

Знайдемо суми добутків і по стовпцях першого поля й помістимо їх у додатковий рядок I.

Знайдемо суму чисел додаткового стовпця I і запишемо її в першу підсумкову клітку (у правому нижньому куті таблиці).

Для контролю складемо всі числа додаткового рядка .

Аналогічно ведеться розрахунок і по інших полях.

Приклад. Обчислити коефіцієнт кореляції за даними кореляційної таблиці 14.

Розв’язання. Перейдемо до умовних варіант: (як несправжній нуль узята варіанта , що має найбільшу частоту; крок дорівнює різниці між двома сусідніми варіантами: і (як несправжній нуль узята варіанта , що має найбільшу частоту; крок дорівнює різниці між двома сусідніми варіантами: ).

Таблиця 14

			─	─	─	─
	─			─	─	─
	─	─				─
	─	─
	─	─	─

 

 

Складемо кореляційну таблицю в умовних варіантах. Практично це роблять так: у першому стовпці замість варіанти 35, що має найбільшу частоту, пишуть 0; над нулем пишуть послідовно -1, -2 і т.д., під нулем пишуть 1,2 і т.д. У першому рядку замість варіанти 40, що має найбільшу частоту, пишуть 0; ліворуч від нуля послідовно записують -1, -2, -3; і т.д., праворуч від нуля пишуть 1, 2 і т.д. Всі інші дані переписують із початкової кореляційної таблиці. У підсумку одержимо кореляційну таблицю 15 в умовних варіантах.

Оскільки числа малі, обчислимо і , і , виходячи з їхніх визначень.

 

Таблиця 15

	-3	-2	-1
-2			─	─	─	─
-1	─			─	─	─
	─	─				─
	─	─
	─	─	─

 

Знайдемо і :

.

 

Обчислимо допоміжну величину , а потім :

 

.

 

Аналогічно одержимо .

Знайдемо методом чотирьох полів, для чого складемо розрахункову таблицю 16.

 

Таблиця 16

 

	-3	-2	-1				I	II
-2			─		─	─		─
-1	─				─	─		─
							II	IV
	─	─	-1				-10
	─	─	─				─
I				II	─	─		─
III	─	─	-10	IV			-10

 

Склавши числа підсумкових кліток (4 клітки в нижньому правому куті таблиці 16), одержимо: .

Знайдемо шуканий коефіцієнт кореляції по формулі (1.7.2):

 

.