Порівняння групових середніх за критерієм Фішера

У п. 3.1 говорилося про те, що в дисперсійному аналізі порівняння середніх здійснюється через порівняння дисперсій. Можна довести, що якщо гіпотеза про рівність групових середніх вірна (невірна), те вірна (невірна) і гіпотеза про рівність факторної й залишкової дисперсії. Справедливо й зворотне твердження: із правильності (хибності) гіпотези про дисперсії випливає правильність (хибність) гіпотези про середні.

Будемо вважати, що ознака розподілена нормально. Вплив досліджуваного фактору може бути двояким: він може змінювати як істиний результат (середнє) спостережень, так і їхню дисперсію. Ми, однак, будемо припускати, що дисперсії хоча й невідомі, але постійні. Це припущення звичайно виправдується, якщо для спостережень використовуються ті самі прилади й та сама методика. Якщо ж стабільність дисперсії викликає сумнів, потрібно провести спеціальні дослідження за допомогою критеріїв Бартлета або Кохрана. У випадку значної зміни дисперсії в процесі спостережень потрібно спробувати її стабілізувати. Для цього є спеціальні математичні прийоми, на яких ми не будемо зупинятися.

Для порівняння групових середніх нормально розподілених сукупностей з однаковими дисперсіями висувається нульова гіпотеза про рівність факторної й залишкової дисперсії при рівні значущості . Потім обчислюють - критерій Фішера:

. (3.3.1)

 

Позначимо ступеня свободи чисельника й знаменника через і відповідно й порівнюючи зі знайденим по таблиці критичних точок розподілу Фішера (додаток 2) при даних

Якщо , то нульову гіпотезу відкидаємо, тобто будемо вважати, що групові середні «у цілому» відрізняються значуще. Якщо , то немає підстав відкинути нульову гіпотезу. У цьому випадку вважають, що групові середні відрізняються незначуще.

Зауваження 1. Якщо виявиться, що , то звідси вже випливає справедливість нульової гіпотези про рівність групових середніх.

Зауваження 2. Якщо спостережувані значення - десяткові дроби зі знаками після коми, для полегшення обчислень краще перейти до цілих чисел

,

 

де С приблизно дорівнює середньому значень чисел .

 

При цьому факторна й залишкова дисперсія збільшаться в раз, але їх відношення не зміниться.

Зауваження 3. Якщо треба зрівняти середні попарно, то використовують критерій Стьюдента.

Приклад. Зроблено по 4 випробування на кожному із трьох рівнів. Результати випробувань наведені в таблиці 32. Методом дисперсійного аналізу при рівні значущості 0,05 перевірити нульову гіпотезу про рівність групових середніх. Передбачається, що вибірки витягнуті з нормальних сукупностей з однаковими дисперсіями.

Таблиця 32

 

Номер випробування	Рівні фактору

Розв’язання. Для спрощення обчислень із кожного спостережуваного значення віднімемо значення . Тоді . Складемо розрахункову таблицю 33

Таблиця 33

 

Номер випробування	Рівні фактору
	-1				-10 -8 -2
					-20

 

Користуючись таблицею і враховуючи, що число рівнів фактору , число випробувань на кожному рівні , знайдемо загальну й факторну суми квадратів відхилень по формулах (3.2.1.7) і (3.2.1.8).

;

 

.

Знайдемо залишкову суму квадратів відхилень:

 

.

 

Знайдемо факторну й залишкову дисперсії:

 

;

 

.

 

Знайдемо спостережуване значення критерію Фішера:

 

.

З огляду на, що число ступенів свободи чисельника дорівнює , а знаменника , при рівні значущості по таблиці знаходимо критичну точку .

Тому що , нульову гіпотезу про рівність групових середніх відкидаємо. Інакше кажучи, групові середні «у цілому» різняться значуще.

 

Питання й задачі для самоперевірки

1. Яка задача однофакторного дисперсійного аналізу?

2. Яка основна ідея дисперсійного аналізу?

3. Що відбивають загальна, факторна й залишкова суми квадратів відхилень?

4. На якій підставі в критерії Фішера порівняння середніх здійснюється через порівняння дисперсій?

 

Задача. Зроблено по чотири випробування на кожному із трьох рівнів фактору . Методом дисперсійного аналізу при рівні значущості 0,05 перевірити нульову гіпотезу про рівність групових середніх. Передбачається, що вибірки витягнуті з нормальних сукупностей з однаковими дисперсіями. Результати випробувань наведені в таблиці 34

 

Таблиця 34

 

Номер випробування і	Рівні факторів

 

Відповідь. = 428; ; ; ; ; ; . Групові середні «у цілому» різняться значуще.