Вычисление параметров уравнения регрессии

Задачи регрессионного анализа:

1. установление формы зависимости

2. определение функции регрессии

3. использование уравнения для оценки неизвестных значений зависимой переменной

Важнейшим этапом построения регрессионной модели является установление математической функции, которая лучше других выражает реальные связи между анализируемыми признаками. Выбор типа функции может опираться на теоретические знания об изучаемом явлении, опыт предыдущих аналогичных исследований, или осуществляться эмпирически – перебором и оценкой функций разных типов и т.п.

Уравнение однофакторной парной линейной корреляционной связи имеет вид:

=a₀+a₁x,

где – теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

a₀, a₁ – параметры уравнения регрессии

Параметры уравнения a₀, a₁ находят посредством МНК, при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений эмпирических данных y _i от теоретических _i, рассчитанных по модели, т.е.

Σ(y_i - _i)² à min

Для нахождения минимума данной функции, ее частные производные приравнивают нулю и получают систему нормальных уравнений:

na₀ + a₁ Σ x= Σ y

a₀ Σx+ a₁ Σ x²= Σ xy

Решая систему в виде, получают значения параметров уравнения.

Параметр a₁ называется коэффициентом регрессии. Его можно найти также по формуле:

Коэффициент регрессии a₁ показывает, насколько в среднем изменяется величина результативного признака (в его единицах измерения) при изменении факторного признака на единицу.

Параметр a₀ показывает усредненное влияние прочих факторов на результативный признак. Параметр a₀ связан с коэффициентом регрессии a₁ соотношением

Коэффициент регрессии a₁ применяется также для расчета коэффициента эластичности, который показывает, на сколько процентов изменится величина результативного признака при изменении факторного признака на 1%:

Примеры решения задач

Пример 1. Имеется следующая информация по 10 однотипным торговым предприятиямо возрасте типового оборудования (в годах) и затратах на его ремонт (в тыс. руб.).

Среднее значение возраста типового оборудования составило 7 лет, среднеквадратическое отклонение равно 2,43.

Среднее значение затрат на ремонт составило 2,7 тыс. руб, среднеквадратическое отклонение равно 1,3.

Среднее произведение значений признаков равно 21,71.

Оценить тесноту связи показателей, построить адекватную регрессионную модель.

Решение. Возраст оборудования – факторный признак (х), влияющий на затраты на ремонт (у). Итак, =7, =2,7, = 21,71, =2.43, =1.3

Оценка тесноты связи

Рассчитаем коэффициент корреляции =0.89

Значение коэффициента корреляции свидетельствует о возможном наличии сильной прямой связи между признаками.

Значимость коэффициента корреляции проверяется с помощью распределения Стьюдента.

С учетом уровня значимости =0,05 и 8 степеней свободы табличное значение t_табл =2,3. Поскольку t_расч>t_табл, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что между признаками существует сильная прямая связь.

Значение коэффициента детерминации r² =0,89²=0,792 свидетельствует о том, что 79,2% общей вариации затрат на ремонт оборудования объясняется изменением возраста оборудования (а оставшиеся 20,8% - другими причинами).

Вычисление параметров уравнения регрессии

=2,7-0,476*7= -0,632

Подставляя значение найденных параметров в уравнение

=a₀+a₁x

получаем уравнение регрессии:

= -0,632+0,476* x

Найденное значение коэффициента регрессии a₁ = 0,476 говорит о том, что увеличение возраста оборудования в среднем на 1 год приводит к увеличению затрат на ремонт в среднем на 0,476 тыс.руб.

Коэффициент эластичности позволяет выразить эту взаимосвязь в процентах:

При увеличении возраста оборудования на 1% затраты на ремонт возрастают на 1,23%.

5. Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. По следующим данным оценить тесноту связи показателей, построить адекватную регрессионную модель, рассчитать коэффициент эластичности, сделать выводы.

= 17 =15,3 =268,6 =3,4 =2,8

Тема 7