Оценка параметров модели парной регрессии

Модель парной регрессии

Парная регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными – и , т. е. модель вида: , где – зависимая переменная (результативный признак); – независимая. Между переменными и нет строгой функциональной зависимости, поэтому практически в каждом отдельном случае величина складывается из двух слагаемых: , где – фактическое значение результативного признака; – теоретическое значение результативного признака, найденное исходя из уравнения регрессии; – случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического, найденного по уравнению регрессии (включает влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения).

Вид мат. функции может быть осуществлен 3-я методами: графическим; аналитическим, экспериментальным.

Построение модели парной регрессии заключается в нахождении уравнения связи двух показателей У и Х, т.е. определяется как повлияет изменение одного показателя на другой. Число наблюдений должно в 7-8 раз превышать число рассчитываемых параметров при переменной . Минус модели - для прогноза необходимо, как правило, больше факторов.

 

Оценка параметров модели парной регрессии

Линейная регрессия - простейшая модель парной регрессии. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида или .

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – и . Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на МНК или можно воспользоваться готовыми формулами: , .

Параметр - коэффициент регрессии - показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Формально – значение , при . Если признак-фактор не может иметь нулевого значения, то трактовка свободного члена не имеет смысла.

Для оценки тесноты связи между факторами используется линейный коэффициент корреляции , который находиться в пределах .Чем ближе абсолютное значение к 1, тем сильнее линейная связь между факторами.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проводится с помощью -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей. Для оценки отдельных параметров регрессии определяют стандартная ошибки: и . , где – остаточная дисперсия на одну степень свободы.

 

.

Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение -критерия Стьюдента: , которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы . Затем находятся доверительные интервалы для коэффициента регрессии - . Поскольку знак коэффициента регрессии указывает на рост результативного признака при увеличении признака-фактора (), уменьшение результативного признака при увеличении признака-фактора () или его независимость от независимой переменной (),то границы доверительного интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, например, .

 

Множественная регрессия

Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и целом ряде других вопросов эконометрики. В настоящее время множественная регрессия – один из наиболее распространенных методов в эконометрике. Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель. Уравнение множественной регрессии , где – зависимая переменная (результативный признак), – независимые, или объясняющие, переменные (признаки-факторы).

Отбор факторов, включаемых в регрессию, является одним из важнейших этапов практического использования методов регрессии. Факторы, должны отвечать следующим требованиям.1)количественно измеримы 2)факторы не должны находиться в точной функциональной связи. Есть следующие методы построения уравнения множественной регрессии: Метод исключения (отсев факторов из полного его набора.), Метод включения (дополнительное введение фактора),Шаговый регрессионный анализ (исключение ранее введенного фактора). Число включаемых факторов обычно в 6–7 раз меньше объема совокупности, по которой строится регрессия

Возможно построение следующего совмещенного уравнения:

., параметры при называются коэффициентами «чистой» регрессии. Они характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

 

Виды временных рядов. Требования, предъявляемые к исходной информации

Статистическое описание развития экономических процессов во времени осуществляется с помощью временных рядов.
Временным рядом называется ряд наблюдений за значениями некоторого показателя (признака), упорядоченный в хронологической последовательности, т.е. в порядке возрастания переменной t- временного параметра. Отдельные наблюдения временного ряда называются уровнями этого ряда.

 

Временные ряды делятся на моментные и интервальные. В моментных временных рядах уровни характеризуют значения показателя по состоянию на определенные моменты времени. Например, моментными являются временные ряды цен на определенные виды товаров, временные ряды курсов акций, уровни которых фиксируются для конкретных чисел. Примерами моментных временных рядов могут служить также ряды численности населения или стоимости основных фондов, т.к. значения уровней этих рядов определяются ежегодно на одно и то же число.
В интервальных рядах уровни характеризуют значение показателя за определенные интервалы (периоды) времени. Примерами рядов этого типа могут служить временные ряды производства продукции в натуральном или стоимостном выражении за месяц, квартал, год и т.д.

Иногда уровни ряда представляют собой не непосредственно наблюдаемые значения, а производные величины: средние или относительные. Такие ряды называются производными. Уровни таких временных рядов получаются с помощью некоторых вычислений на основе непосредственно наблюдаемых показателей. Примерами таких рядов могут служить ряды среднесуточного производства основных видов промышленной продукции или ряды индексов цен.

Уровни ряда могут принимать детерминированные или случайные значения. Примером ряда с детерминированными значениями уровней служит ряд последовательных данных о количестве дней в месяцах. Естественно, анализу, а в дальнейшем и прогнозированию, подвергаются ряды со случайными значениями уровней. В таких рядах каждый уровень может рассматриваться как реализация случайной величины - дискретной или непрерывной.

Для успешного изучения динамики процесса важно, чтобы информация была полной, временной ряд имел достаточную длину. Например, при изучении сезонных колебаний на базе месячных или квартальных данных желательно иметь информацию не менее, чем за 3 года. Применение определенного математического аппарата также накладывает ограничение на допустимую длину временных рядов. Например, для использования регрессионного анализа требуется иметь временные ряды, длина которых в несколько раз превосходит количество независимых переменных.

 

Временные ряды не должны иметь пропущенные наблюдения. Пропуски могут объясняться как недостатками при сборе информации, так и происходившими изменениями в системе отчетности, в системе фиксирования данных. Например, изменяется круг основных видов промышленной продукции, данные о производстве которых собираются на базе срочной отчетности. Решение об исключении какого-то показателя может быть отменено через некоторое время, в связи с тем, что становится очевидной его важность для аналитических исследований. В этом случае для использования этого временного ряда в дальнейшем анализе необходимо восстановить пропущенные уровни одним из известных способов восстановления пропусков (выбор метода зависит от специфики конкретного временного ряда). Если же в систему показателей включен новый признак, учет которого не проводился ранее, то необходимо подождать, пока ряд достигнет требуемой длины или попытаться восстановить прежние значения косвенными методами (через другие показатели), если такой путь представляется возможным.
Уровни временных рядов могут содержать аномальные значения или "выбросы"'. Часто появление таких значений может быть вызвано ошибками при сборе, записи и передаче информации. Возможными источниками появления ошибочных значений являются: сдвиг запятой при перенесении информации из документа, занесение данных в другую графу и т.д.
Соответствие исходной информации всем указанным требованиям проверяется на этапе предварительного анализа временных рядов. Лишь после этого переходят к расчету и анализу основных показателей динамики развития, построению моделей прогнозирования, получению прогнозных оценок.

 

Компоненты временных рядов

Данные, представленные в виде временных рядов, могут содержать два вида компонент — систематическую и случайную составляющие.

Систематическая составляющая является результатом влияния постоянно действующих факторов. Выделяют две основных систематических компоненты временного ряда:

§ Тренд — это систематическая линейная или нелинейная компонента, плавно изменяющая во времени (Т). Он описывает чистое влияние долговременных факторов.

§ Циклическая (сезонная) компонента (S).

Сезонность — это периодические колебания уровней временного ряда в течение не очень длительного периода (недели, месяца, максимум — года). Сезонность отражает повторяемость экономических процессов в рамках одного года.

Цикличность - это периодические колебания, выходящие за рамки одного года. Промежуток времени между двумя соседними "вершинами" или "впадианми" в масштабах года считается длиной цикла. Цикличность отражает повторяемость экономических процессов в течение длительных периодов.

Систематические составляющие могут одновременно присутствовать во временном ряду.

Случайной составляющей называется случайный шум, или ошибка, воздействующая на временной ряд нерегулярно (E). Основными причинами случайного шума могут быть факторы резкого и внезапного воздействия, а также воздействие текущих факторов, которое может быть связано, например, с ошибками наблюдений.

 

Модель парной регрессии

Парная регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными – и , т. е. модель вида: , где – зависимая переменная (результативный признак); – независимая. Между переменными и нет строгой функциональной зависимости, поэтому практически в каждом отдельном случае величина складывается из двух слагаемых: , где – фактическое значение результативного признака; – теоретическое значение результативного признака, найденное исходя из уравнения регрессии; – случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического, найденного по уравнению регрессии (включает влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения).

Вид мат. функции может быть осуществлен 3-я методами: графическим; аналитическим, экспериментальным.

Построение модели парной регрессии заключается в нахождении уравнения связи двух показателей У и Х, т.е. определяется как повлияет изменение одного показателя на другой. Число наблюдений должно в 7-8 раз превышать число рассчитываемых параметров при переменной . Минус модели - для прогноза необходимо, как правило, больше факторов.

 

Оценка параметров модели парной регрессии

Линейная регрессия - простейшая модель парной регрессии. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида или .

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – и . Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на МНК или можно воспользоваться готовыми формулами: , .

Параметр - коэффициент регрессии - показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Формально – значение , при . Если признак-фактор не может иметь нулевого значения, то трактовка свободного члена не имеет смысла.

Для оценки тесноты связи между факторами используется линейный коэффициент корреляции , который находиться в пределах .Чем ближе абсолютное значение к 1, тем сильнее линейная связь между факторами.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проводится с помощью -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей. Для оценки отдельных параметров регрессии определяют стандартная ошибки: и . , где – остаточная дисперсия на одну степень свободы.

 

.

Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение -критерия Стьюдента: , которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы . Затем находятся доверительные интервалы для коэффициента регрессии - . Поскольку знак коэффициента регрессии указывает на рост результативного признака при увеличении признака-фактора (), уменьшение результативного признака при увеличении признака-фактора () или его независимость от независимой переменной (),то границы доверительного интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, например, .