Коефіцієнт лінійної корреляції Пірсона.

Цей коефіцієнт показує взаємозв’язок між двома змінними. Цей коефіцієнт тільки для лінійного взаємозв’язку.

Значення, які приймає показник лежить в діапазоні від -1 до 1.

· може приймати такі значення: - дуже сильний взаємозв’язок (від 0,9 до 1)

· сильний (0.8 - 0.9)

· достатньо сильний (0,6 - 0,8)

· середній (0.5 - 0.6)

· достатньо слабкий (0,3 - 0,5)

· слабкий (0.1 - 0,3)

· дуже слабкий (0 - 0,1)

За напрямком взаємозв’язок поділяється на прямий та обернений (прямопропорційний/оберненно пропорційний)

· Значення від 0 до 1 відповідає прямому зв’язку.

· Значення від 0 до -1 відповідає оберненоному взаємозвязку

· Якщо коефіцієнт + або - 1, то тоді маємо лінійну функціональну залежність

· Якщо коефіцієнт кореляції дорівнює 0 - то відсутній взаємозв’язок між змінними.

Лінійна функціональна залежність

· Якщо коефіцієнт = 1, то при збільшенні значення однієї змінної - збільшується значення іншої змінної.

· Якщо коефіцієнт = -1. При збільшенні значення однії змінної, зменшується значення іншої змінної.

· Якщо коефіцієнт = 0. Хаотично або нагадує парабулу (а вона має квадратне рівння, а це не лінійна залежність)

· Якщо коефіцієнт = 0.9/-0.9 то не лінія, але точкі близькі до прямої лінії.

· Чим менше 1 тим більше хаотичності.

Лінійний регресійний аналіз

Лінійний регресійний аналіз прогнозує значення однієї змінної (у) на основі значень іншої змінної (х).

· Нехай нахил лінії регресії позначається «b», ця величина вимірюється в тих самих одиницях, що і «у» і характеризує крутизну підйому лінії регресії.

· Коефіцієнт «а» позначає зсув лінії регресії відносно 0.

· Коефіцієнт «а» дорівнює значення «у» при значенні х=0.

· у=а+ bх – рівняння лінійної регресії

Для побудови рівняння лінійної регресії існує багато методів, найбільш пошире5ним є метод найменших квадратів.

Перша лінія побудована за методом найменших квадратів характеризується найменшою сумою помилок прогнозування в квадраті по вертикалі серед всіх можливих ліній.

· Будуємо діаграму розсіювання.

· Шукаємо функцію

· Мінімізуємо метод найменших квадратів:

Сума помилок в квадраті повинна бути мінімальна. Для оцінки помилки прогнозування за лінією регресії існують дві міри:

• Стандартна помилка оцінки (абсолютна величина)

Цей показник вказує величину помилки прогнозування в таких самих функціях, що і «у».

- стандартне відхилення

r – коефіцієнт кореляції Персона

n – розміри вибірок

Чим менше значення Se, тим більш точний прогноз дає лінія регресії.

Припускаємо, що помилки прогнозування мають нормальний розподіл, то можем о використовувати розподіл двох або трьох  для оцінки Se.

• Коефіцієнт детермінації (відносна величина)

 (r квадрат) – показує в якій мірі варіація «у» пояснюється варіацією «х». Можна визначити як коефіцієнт кореляції Персона в квадраті.

Велике значення коефіцієнту детермінації має переваги, тому що воно вказує на більш сильний зв'язок між «у» та «х». Але менше значення не означає, що варіація «х» не може пояснювати варіацію «у», в цьому випадку можливо існують додаткові фактори, які впливають на варіації «у» від «х».

Приклад: з використанням методів лінійної регресії отримали рівняння, яке повязує прибуток фірми з кількістю годин затрачених керівництвом фірми на розробку проектів в минулому році.

Прибуток = -957₤+85₤ * кількість годин

у= -975+85t

У відповідності з цією оцінкою визначити яким би був прибуток або збиток, якби на планування взагалі не витрачали б часу

T= 0

у = -957 (збиток)

Наскільки в середньому збільшується прибуток від проектів при збільшенні планування часу на 10 годин

T + 10

у = -957+85(t+10)

у = -957+85 t+850

Знайти точку самоокупованості

у=0

0= -957+85 t

T= 957/85 = 11

• Якщо кореляція r = 0,7, то який процент варіації прибутку пояснюється часом витраченим на планування
• (r квадрат) = 0,49 (50% визначено часом, а інші 50% залежать від інших факторів)
• Яка частина варіації прибутку не пояснюється часом витраченим на планування

1-  (1-r квадрат) = 1-0,49 = 0,51 = 51 %