Оптимизация выбора материала математическим моделированием

Как следует из вышеизложенного, применительно к материалу оптимизация сводится к выбору лучшего варианта из предварительно подготовленного перечня марок, удовлетворяющих предъявляемым требованиям.

Лучшим, или оптимальным, может быть вариант по конкретному показателю, например по минимуму затрат (стоимости); технические показатели, в частности надежность (безотказность), при этом относятся в разряд ограничений [14]. Это условие можно записать:

при

где С, Р - стоимость и безотказность соответственно.

Условия оптимизации могут быть и другими, например по минимуму массы (веса) при постоянной надежности или максимуму надежности при постоянной массе. В этом случае условия оптимизации записываются:

при

при

где G - масса.

При необходимости приемлемые (компромиссные) решения можно находить и по двум показателям - по максимуму надежности и минимуму стоимости при постоянной массе, по минимуму стоимости и массы при постоянной надежности, т. е.:

и при

и при

Могут быть и другие показатели оптимизации и ограничения; они формируются в каждом случае исходя из требованной, предъявляемых к деталям и изделиям с учетом их специфики.

Для решения задачи оптимизации выбора материалов методом моделирования, как и любой оптимизационной задачи, нужно иметь целевую функцию, связывающую соответствующие параметры применительно к рассматриваемому случаю. Базовыми соотношениями при этом являются математические модели, характеризующие работу детали в соответствующих режимах эксплуатации и увязывающие ее со свойствами материала, зависимости из области надежности и соответствующие характеристики стоимости.

Важное значение при оптимизации выбора материала имеет определение несущей способности соответствующей детали (изделия). С этой целью надо воспользоваться зависимостями, отражающими физическую сущность соответствующих явлений (протекающих процессов).

Сущность метода проиллюстрируем на простейших примерах. Предположим, имеем деталь в виде стержня (подвеска), работающую на растяжение. Ее несущая способность при недопустимости деформации будет

а масса и стоимость соответственно

где г, - радиус и длина стержня; - плотность материала; - стоимость единицы массы.

Следовательно, несущую способность можно выразить как функцию массы или стоимости:

(25)

(26)

При этом, поскольку предел текучести - случайная величина, то несущая способность - функция случайной величины.

Другой случай - тонкостенная труба, нагруженная внутренним давлением. Ее несущая способность (на разрушение) будет

(27)

где - радиус трубы и ее толщина.

Масса и стоимость трубы (при поставке по массе) будет

где - длина трубы и стоимость ее единицы массы.

И опять-таки несущую способность можно выразить как функцию массы и стоимости

(28)

(29)

И в данном случае несущая способность является функцией случайной величины - предела прочности. Если же учесть еще и разброс по радиусу трубы, то - функцией двух случайных величин.

Задача усложняется при необходимости учета других эксплуатационных воздействий, например возможности нагрева, старения материала при хранении т. п. В этом случае разрушающее напряжение надо выразить в зависимости от этих воздействий. Так, для стеклопластиковой трубы с учетом возможности старения несущая способность по массе будет:

В свою очередь входящая сюда величина предела прочности может зависеть от степени нагрева трубы в рабочем режиме. Несущая способность, таким образом, становится более сложной функцией от случайных величин. Еще более сложной случайной функцией будет выражаться несущая способность при необходимости моделировать указанные воздействия в масштабе реального времени.

Для наглядности порядок формирования несущей способности в случае механического нагружения представим графически (рис. 20). В качестве определяющего параметра при этом принимается текущее значение разрушающих напряжений в оцениваемом объекте . В соответствии с приведенной схемой при определении несущей способности учитывается исходное значение определяющего параметра а и, влияние на него нагрева объекта в рабочем режиме Kt и влияние условий эксплуатации во времени Kу.э. Одновременно должна быть принята во внимание и возможность разброса (случайность) всех этих параметров (Vσ_н, KVσ_к).

 

Рис. 20. Схема определения несущей способности:

σ_и, σ_к, σ_т - напряжение в исходном состоянии (стандартные испытания), в кон­струкции и текущие соответственно; К - коэффициенты (степень) влияния[t - температуры, у.э - условий эксплуатации (влажность воздуха, радиация и т. п.)]; V- коэффициент вариации соответствующих напряжений

 

Аналогичным образом можно в случае необходимости выразить несущую способность и при других видах нагружения, которые, как ранее указывалось, надо понимать в широком смысле слова, включая тепловые, электрические и другие виды воздействия.

Помимо несущей способности для формирования оптимизационной задачи (построения целевой функции) нужно определиться с эксплуатационной нагрузкой. В общем случае она также характеризуется каким-то разбросом и зависит от условий эксплуатации, т.е. является случайной величиной или функцией случайной величины. Определение вида и параметров эксплуатационных нагрузок - непростая задача; она решается конструктором, в связи с чем этот вопрос здесь не рассматривается. Заметим лишь, что в случае отсутствия соответствующих данных при решении задачи выбора материалов эксплуатационную нагрузку в первом приближении можно принять постоянной.

Сформировав необходимые зависимости по несущей способности и по эксплуатационным нагрузкам, переходим к построению целевой функции. В связи с этим надо иметь в виду, что применение того или иного материала для изготовления детали или изделия будет эффективным тогда, когда обеспечивается эффективность (наибольшая полезность) применения изделия, в котором работает соответствующая деталь. Таким образом, эффективность использования материала оценивается способностью изделия выполнять задачные функции, т.е. надежностью при одновременном учете затрат на создание изделия.

Прежде всего необходимо определиться с функцией работоспособности. Начинать надо с использования условия работоспособности в виде разности по зависимости (2). Проверяем соответствие его нормальному закону. В случае несоответствия оцениваем возможность получения нормального распределения при формировании функции работоспособности по зависимостям (6)-(8). Если и в этом случае не удается привести случайную величину к нормальному распределению, надо попытаться путем преобразования привести исходные случайные величины к нормальному распределению. Заметим, что непременным условием работоспособности для объектов, подвергающихся механическим воздействиям, является невозможность хрупкого разрушения, что должно приниматься во внимание при выборе марок перечня с позиций металловедения.

Для формирования целевой функции, как следует из вышеприведенных условий оптимизации, нужны еще данные по стоимости материалов, а иногда и в детали; соответствующая информация обычно представляется в виде постоянных величин (заимствуется из справочников или определяется по соответствующим опытным данным).

или в частных случаях:

Формируемую целевую функцию в общем виде можно записать так:

;

.

В дальнейшем она конкретизируется с учетом особенностей изделия, его эксплуатации и соответствующих ограничений; затем задача оптимизации решается каким-либо из существующих методов.

Проиллюстрируем изложенную в общем виде методологию подготовки целевой функции и оптимизации выбора материала применительно к некоторым часто используемым в машиностроении элементам конструкции (деталям).

 

 

Лекция 13