Порядок проведения силовых экспериментов и аппроксимации результатов измерений

(получения математических моделей)

В качестве измерительных приборов при проведении силовых экспериментов для измерения сил резания используются динамометры. Их схемы и принципы работы приведены в специальной литературе и рассматриваются в соответствующих разделах курса «Резание металлов».

При установлении силовых зависимостей, как правило, проводят однофакторные эксперименты. В ходе таких экспериментов варьируют только тем параметром (фактором), влияние которого изучают, а все остальные факторы за время опыта остаются постоянными. Например, устанавливают влияние подачи на силу резания. Принимают разные значения подачи и измеряют соответствующее им значения силы резания. Все остальные параметры, а именно, обрабатываемый и инструментальный материалы, геометрические параметры резца, вид СОТС, глубину, скорость и т.д. оставляют неизменными.

Конечная цель эксперимента - установление функциональной связи (зависимости) между варьируемым параметром и силой резания и описание этой зависимости математической формулой. После установления всех частных зависимостей получают общую зависимость способом, приведенным ниже.

Каждый эксперимент состоит из ряда опытов. В каждом опыте принимаются разные значения исследуемого параметра. Для обеспечения требуемой точности эксперимента в каждом опыте проводится определенное количество повторений или дублей. Например, для обеспечения уровня надежности (доверительной вероятности) 0,9 количество дублей в каждом опыте должно быть не менее 5. Для обеспечения уровня надежности (доверительной вероятности) 0,95 количество повторений должно быть не менее 7.

Прежде чем математически обработать полученные экспериментальные данные значения силы, полученные в каждом опыте, усредняют [6]. Обозначим значение силы через «y», а значение исследуемого параметра через «x». Т.е., например, «y» - это P_X,или P_Y,или P_Z, а «x» - s,или t, или v. Среднее значение силы в каждом опыте y определится следующим образом:

где i – номер текущего опыта;

m – количество повторений в i – ом опыте;

j – номер текущего дубля или повторения;

y_j – значение силы в j – м дубле;

n – количество опытов в эксперименте.

После этого все данные сводятся в таблицу:

Номер опыта			…..	n
x	x1	x2	…..	xn
y	y1	y2	…..	yn

Полученные экспериментальные данные для получения формул подвергают следующей обработке. Сначала выбирают формулу для описания будущей зависимости. Важно правильно выбрать вид аппроксимирующей формулы («аппроксимация» - упрощение в том смысле, что зависимость между функцией «y» и аргументом «x» воплощена и в виде приведенной выше таблицы, но эта зависимость более просто будет описана в виде аппроксимирующей формулы).

Основные требования к аппроксимирующей формуле:

1. Максимальная точность описания устанавливаемой зависимости.

2. Простота

3. Обеспечение быстроты обработки экспериментальных данных.

Многолетние наблюдения показали, что зависимость силы резания от параметров резания хорошо описываются аппроксимирующей функцией вида:

Задача состоит в том, чтобы определить неизвестные коэффициенты C и k. Для упрощения вычислений эту степенную зависимость логарифмируют:

В логарифмических координатах эта функция изображается прямой линией – рис. 4.

Рис.4. Аппроксимация экспериментальных данных в логарифмических координатах

 

Через опытные точки проводят прямую линию так, чтобы возможно большее число точек равномерно группировалось вокруг нее. Тогда (тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс). Далее берется опытная точка на прямой, и определяется постоянная C: . После потенцирования находится явное значение постоянной C.

Приведенный способ применяют, тогда когда зависимость y = f (x) монотонна и экспериментальные точки плотно группируются вокруг прямой. Только в этом случае возможно обеспечить требуемую точность. Если приведенные выше условия не выполняются, то для обработки экспериментальных данных применяют метод наименьших квадратов (метод Гаусса). Для его использования применяют исходную формулу или ее опять логарифмируют. В последнем случае после логарифмирования проще решать уравнения. В настоящее время при реализации метода наименьших квадратов на компьютере надобность в логарифмировании исходной формулы практически отпала.

Лекция 3