Определение автомата с магазинной памятью

Определение 10.1.1. Автомат с магазинной памятью (МП-автомат, магазинный автомат, стековый автомат, pushdown automaton) - это шестерка , где , , и - конечные множества, , и

Здесь Q - множество состояний, - входной алфавит, - алфавит магазинной памяти (stack alphabet), - множество переходов (transition relation), элементы I называются начальными состояниями, элементы F - заключительными или допускающими состояниями.

Пример 10.1.2. Пусть Q = {1,2}, , ,

, . Тогда - МП-автомат.

Замечание 10.1.3. МП-автоматы можно изображать в виде диаграмм состояний. На диаграмме каждое состояние обозначается кружком, а переход - стрелкой. Каждое начальное состояние распознается по ведущей в него короткой стрелке. Каждое допускающее состояние отмечается на диаграмме двойным кружком. Стрелка с пометкой , ведущая из p в q, показывает, что является переходом данного МП-автомата.

Пример 10.1.4. Ниже приведена диаграмма МП-автомата из примера 10.1.2.

Определение 10.1.5. Конфигурацией МП-автомата называется любая тройка , где , , .

Определение 10.1.6. Определим на множестве всех конфигураций МП-автомата бинарное отношение (такт работы) следующим образом. Если , и , то .

Замечание 10.1.7 Обычно из контекста ясно, о каком МП-автомате идет речь. Тогда вместо будем писать .

Пример 10.1.8. Для МП-автомата из примера 10.1.2 выполняется и .

Определение 10.1.9. Бинарное отношение определяется как рефлексивное, транзитивное замыкание отношения .

Пример 10.1.10. Для МП-автомата из примера 10.1.2 выполняется и .

Лемма 10.1.11. Если и , то .

Доказательство. Лемму легко доказать индукцией по количеству тактов в вычислительном процессе, ведущем из конфигурации в конфигурацию .

Определение 10.1.12. Слово допускается МП-автоматом , если найдутся такие состояния и , что .

Определение 10.1.13. Язык, распознаваемый МП-автоматом, - множество всех слов, допускаемых этим МП-автоматом. Язык, распознаваемый МП-автоматом M, обозначается L(M).

Замечание 10.1.14. Обычно в учебниках используется более узкое определение МП-автомата, но это не меняет класса языков, распознаваемых МП-автоматами.

Пример 10.1.15. Пусть - МП-автомат из примера 10.1.2. Тогда .

Пример 10.1.16. Пусть . Рассмотрим МП-автомат , где , , I = {1}, F = {4,5} и

Тогда .

Определение 10.1.17. Два МП-автомата эквивалентны, если они распознают один и тот же язык.

Замечание 10.1.18. В данном пособии не рассматриваются преобразователи с магазинной памятью (pushdown transducer) обобщение автоматов с магазинной памятью посредством добавления "выходного" потока (см. [7, 3.5] или [2, 3.1.4]).

Замечание 10.1.19. Некоторые авторы изменяют определение допускаемых слов следующим образом: слово w допускается МП-автоматом , если найдутся такие состояния и и последовательность , что . Такое определение не изменяет класса языков, распознаваемых МП-автоматами.

Замечание 10.1.20. Некоторые авторы добавляют в определение МП-автомата седьмую компоненту - Z₀, называемую маркером магазинной памяти (start pushdown symbol), и изменяют определение допускаемых слов следующим образом: слово w допускается МП-автоматом , если найдутся такие состояния и , что . Такое определение не изменяет класса языков, распознаваемых МП-автоматами.

Замечание 10.1.21. Класс языков, распознаваемых МП-автоматами, не изменится также, если использовать следующую естественную комбинацию двух предыдущих определений: слово w допускается МП-автоматом , если найдутся такие состояния и и последовательность , что .

Замечание 10.1.22. Некоторые авторы добавляют в определение МП-автомата маркер магазинной памяти Z₀, отбрасывают множество F и изменяют определение допускаемых слов следующим образом: слово w допускается МП-автоматом , если найдутся такие состояния и , что . Это также не изменяет класса языков, распознаваемых МП-автоматами.

Упражнение 10.1.23. Найти МП-автомат, распознающий язык

Упражнение 10.1.24. Найти МП-автомат, распознающий язык

Упражнение 10.1.25. Найти МП-автомат, распознающий язык